Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5436. feladat (2022. november)

P. 5436. Két, egymást merőlegesen keresztező egyenes autópályán egy-egy pontszerűnek tekinthető autó a kereszteződési pont felé tart állandó nagyságú sebességgel. Az \(\displaystyle A\) jelű autó sebessége \(\displaystyle v_A = 50\) km/h, a \(\displaystyle B\) jelű autóé \(\displaystyle v_B = 40\) km/h. Egy adott időpontban a két autó a kereszteződési ponttól mért távolsága \(\displaystyle d_A = 20\) km, illetve \(\displaystyle d_B = 36\) km.

\(\displaystyle a)\) Mekkora lesz köztük a minimális távolság?

\(\displaystyle b)\) Mennyi idő múlva lesznek egymáshoz legközelebb?

Közli:Holics László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. december 15-én LEJÁRT.


I. megoldás. A két autó pillanatnyi \(\displaystyle d\) távolságának négyzete a Pitagorasz-tétel szerint (1. ábra):

\(\displaystyle d^2=\left(d_{\rm A}-v_{\rm A}t\right)^2+\left(d_{\rm B}-v_{\rm B}t\right)^2 =(d_{\rm A}^2+d_{\rm B}^2)-2(d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B})t+(v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2)t^2. \)


1. ábra                                          2. ábra

Ez – \(\displaystyle d^2\)-et tekintve függvényértéknek a \(\displaystyle t\) változóban – egy felfelé nyitott parabola (2. ábra), aminek a csúcsa (tehát a minimuma) a

\(\displaystyle t_0=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2} \)

értéknél van. Itt

\(\displaystyle d_{\rm min}^2=\frac{(d_{\rm A}^2+d_{\rm B}^2)(v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2)-(d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B})^2}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2} =\frac{(d_{\rm A}v_{\rm B}-d_{\rm B}v_{\rm A})^2}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}. \)

Adatainkkal:

\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle d_{\rm min}=15{,}6\ {\rm km}\),

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle t_0=0{,}595\ \text{óra, azaz}\ 35{,}7\ {\rm min}\).

II. megoldás. Írjuk le a történetet az \(\displaystyle A\) autóhoz rögzített (tehát \(\displaystyle v_A\) sebességgel egyenletesen mozgó) koordináta-rendszerben. Ebben a rendszerben az \(\displaystyle A\) autó áll, a \(\displaystyle B\) autó pedig \(\displaystyle \boldsymbol v=\left(v_A, v_B\right)\) sebességgel mozog. A két autó ott kerül a legközelebb egymáshoz, ahol az \(\displaystyle A\) pont körül rajzolt \(\displaystyle d_{\rm min}\) sugarú kör éppen érinti a \(\displaystyle B\) autó pályáját.


3. ábra

Ha a \(\displaystyle B\) autó \(\displaystyle t\) idő alatt jut el az érintési pontba, akkor (amint az a 3. ábráról leolvasható) a következő összefüggések teljesülnek:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle d_{\rm min}\sin\alpha=v_At_0-d_A,\)
\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle d_{\rm min}\cos\alpha=d_B-v_Bt_0,\)

ahol

\(\displaystyle v=\vert \boldsymbol v\vert=\sqrt{v_A^2+v_B^2}\qquad\text{és}\qquad \tg\alpha=\frac{v_B}{v_A}.\)

(1)-et (2)-vel elosztva kapjuk, hogy

\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{v_B}{v_A}=\frac{v_At_0-d_A}{d_B-v_Bt_0},\)

azaz

\(\displaystyle v_Bd_B-v_B^2t_0=v_A^2t_0-v_Ad_A,\)

tehát

\(\displaystyle t_0=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}. \)

Ezt (1)-be helyettesítve kifejezhetjük a legkisebb távolságot:

\(\displaystyle d_{\rm min}=\frac{\left\vert d_Av_B-d_Bv_A\right\vert }{\sqrt{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}}.\)

III. megoldás. A II. megoldás koordináta-rendszerét használjuk, de vektorokkal és vektorműveletekkel számolunk. Legyen a \(\displaystyle B\)-ből \(\displaystyle A\) felé mutató vektor az adott (,,kezdeti'') pillanatban

\(\displaystyle \boldsymbol d=\left(d_A, d_B \right),\)

és \(\displaystyle B\) sebessége \(\displaystyle \boldsymbol v=\left(v_A, v_B\right)\).

A két autó helyvektorának különbsége tetszőleges \(\displaystyle t\) időpillanatban:

\(\displaystyle \boldsymbol r=\boldsymbol d-\boldsymbol v t\)

A két autó abban a \(\displaystyle t_0\) pillanatban van legközelebb egymáshoz, amikor \(\displaystyle \boldsymbol r\) merőleges \(\displaystyle \boldsymbol v\)-re (lásd a 4. ábrát).


4. ábra

Ezt a vektorok skalárszorzatával is kifejezhetjük:

\(\displaystyle \boldsymbol v{\boldsymbol \cdot}\left(\boldsymbol d-\boldsymbol v t_0\right)=0,\)

azaz

\(\displaystyle t_0= \dfrac{\boldsymbol d{\boldsymbol \cdot} \boldsymbol v }{v^2 }=\frac{d_{\rm A}v_{\rm A}+d_{\rm B}v_{\rm B}}{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}. \)

Az autók közötti legkisebb távolságot a \(\displaystyle \boldsymbol d\) vektor és a \(\displaystyle \boldsymbol v\) irányú egységvektor vektoriális szorzatának nagysága adja meg:

\(\displaystyle d_{\rm min}=\left\vert \boldsymbol d \times \frac{\boldsymbol v}{v}\right\vert= \frac{\left\vert d_Av_B-d_Bv_A\right\vert }{\sqrt{v_{\rm A}^2+v_{\rm B}^2}}.\)


Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:60 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi fizika feladatai