Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5446. feladat (2022. december)

P. 5446. Két diák egy mutatványra készül. A sportpályán egymástól bizonyos \(\displaystyle d\) távolságra lévő focilabdákat egyszerre megrúgják úgy, hogy a labdák a levegőben találkozzanak. Az egyik diák \(\displaystyle v_1=20\) m/s, a másik \(\displaystyle v_2=10\) m/s sebességgel lövi el a labdát, de a kezdősebesség irányát szabadon megválaszthatják. Legfeljebb mekkora kezdeti \(\displaystyle d_{\max}\) távolságra lehet egymástól a két labda ahhoz, hogy a mutatvány sikerüljön?

(A légellenállás hatását hanyagoljuk el.)

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 16-án LEJÁRT.


Megoldás. Ha a labdák kezdeti \(\displaystyle d\) távolsága a lehető legnagyobb, akkor a mutatvány még éppen sikerülhet, azaz a labdák közvetlenül a földet érés pillanata előtt találkoznak. A labdák azonos időt töltenek a levegőben, ezért a kezdeti sebességük függőleges komponense is megegyezik:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle v_{1y}=v_{2y}.\)

A mozgás ideje a ferde hajítás képletei szerint

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle t=\frac{2v_{1y}}{g}.\)

Ennek ismeretében a labdák kezdeti távolsága is kifejezhető a kezdősebességek vektoraival:

\(\displaystyle (3) \)\(\displaystyle d=\vert\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2\vert t,\)

hiszen \(\displaystyle (1)\) miatt a \(\displaystyle (\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2)\) vektor vízszintes. A \(\displaystyle (2)\) és \(\displaystyle (3)\) egyenletekből:

\(\displaystyle d=\frac{2v_{1y}\vert\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2\vert}{g}\,.\)

A számlálóban álló kifejezés nem más, mint a \(\displaystyle \boldsymbol{v}_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol{v}_2\) vektorok által kifeszített paralelogramma területének kétszerese. Könnyen belátható, hogy ez (és ezzel együtt a \(\displaystyle d\) távolság is) akkor maximális, ha a rögzített nagyságú \(\displaystyle \boldsymbol{v}_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol{v}_2\) vektorok egymásra merőlegesek. Ekkor a vektor-paralelogramma egy \(\displaystyle v_1v_2\) területű téglalap, azaz

\(\displaystyle d_{\textrm{max}}=\frac{2v_1v_2}{g}\approx 41~\rm m.\)


Statisztika:

A P. 5446. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. decemberi fizika feladatai