Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5447. feladat (2022. december)

P. 5447. Három egyforma, 5 cm sugarú jéghengert készítünk, és azokat az ábrán látható helyzetből kezdősebesség nélkül elengedjük. A súrlódás mindenhol elhanyagolható.

Mekkora gyorsulással indulnak el a jéghengerek?

Közli: Cserti József, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 16-án LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük azt a helyzetet, amikor az alsó két jéghenger már egy nagyon kicsit eltávolodott egymástól, és használjuk az ábra jelöléseit.

A felső henger \(\displaystyle A\) tengelye éppen akkora gyorsulással mozog a másik henger \(\displaystyle B\) tengelye felé, amennyivel \(\displaystyle B\) távolodik \(\displaystyle A\)-tól, hiszen a közöttük lévő távolság állandó. Ezek szerint

\(\displaystyle a_1\cos\beta=a_2\cos\alpha.\)

Mivel az indulás pillanatában \(\displaystyle \alpha=60^\circ\) és \(\displaystyle \beta=30^\circ\), a fenti ,,kényszerfeltétel'' szerint

\(\displaystyle a_2=\sqrt3\,a_1.\)

Az indulást követő nagyon rövid \(\displaystyle t\) idő alatt az \(\displaystyle m\) tömegű felső henger lesüllyed \(\displaystyle a_1t^2/2\)-vel, és a sebessége \(\displaystyle a_1t\) lesz. A vízszintesen (szimmetrikusan) szétcsúszó alsó hengerek sebessége \(\displaystyle a_2t\) lesz. Az energiamegmaradás tétele szerint

\(\displaystyle mg\dfrac{a_1}{2}t^2= \dfrac{1}{2}m(a_1t)^2+2\cdot \dfrac{1}{2}m(a_2t)^2,\)

vagyis (a kényszerfeltételt is kihasználva)

\(\displaystyle a_1g=a_1^1+2a_2^2=7a_1^2.\)

Így a kérdéses gyorsulások:

\(\displaystyle a_1=\frac17\,g\approx 1{,}4~\frac{\rm m}{\rm s^2}, \qquad \text{illetve} \qquad a_2=\dfrac{\sqrt3}{7}\,g\approx 2{,}4~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

Az eredmény sem a jéghengerek méretétől, sem a tömegüktől nem függ.


Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bencz Benedek, Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Halász Henrik, Kovács Kristóf , Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:Halász Sámuel, Klement Tamás.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:9 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi fizika feladatai