Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5484. feladat (2023. április)

P. 5484. Kétatomos gázzal egy olyan körfolyamatot valósítunk meg, melynek képe a \(\displaystyle p\) – \(\displaystyle V\) síkon, a tengelyek megfelelő skálázása esetén, éppen az ábrán látható kör.

Határozzuk meg numerikus módszerekkel egy így elkészített hőerőgép hatásfokát!

Közli: Széchenyi Gábor, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. május 15-én LEJÁRT.


I. megoldás. Válasszuk a nyomás egységének a \(\displaystyle 10^4\) Pa értéket, a térfogategység pedig legyen a dm\(\displaystyle ^3\). Ebben az egységrendszerben a munka és a hő egysége 10 J, a kör sugara pedig éppen 1 egység lesz.

Számítógépen (pl. a Geogebra program segítségével) ábrázoljuk a

\(\displaystyle (p-2)^2+(V-2)^2=1\)

egyenletű kört, valamint a

\(\displaystyle pV^{7/5}=K=\text{állandó}\)

egyenletű adiabatikus görbéket. A \(\displaystyle K\) paraméter értékét változtatva (ezt a program ,,csúszka'' eszközével tehetjük meg) megkereshetjük azt a két adiabatát, amelyik (felülről vagy alulról) érinti a kört (lásd az 1. ábrát).

1. ábra

A körfolyamat hatásfokának kiszámításához szükségünk van a felvett hő nagyságára, valamint a gáz által egy-egy ciklusban végzett munkára. Ez utóbbi a kör területe:

\(\displaystyle W'=3{,}14.\)

Hőfelvétel az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) állapotok között történik, ezen az íven egyre nagyobb \(\displaystyle K\) értékekhez tartozó adiabatákat metsz el a kör. Az ábráról (annak kinagyított változatáról) leolvashatjuk az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pont koordinátáit, és ezekből kiszámíthatjuk az ábrán jelölt szögeket:

\(\displaystyle \alpha=\arctg \frac{2{,}00-1{,}54}{2{,}00-1{,}11}=27{,}3^\circ=0{,}48\ \rm rad,\)

illetve

\(\displaystyle \beta=\arctg \frac{ 0{,}79}{ 0{,}61}=52{,}3^\circ =0{,}91\ \rm rad.\)

A folyamat során a gáz által felvett hő az I. főtétel szerint

\(\displaystyle Q_\text{fel}=W'(A\rightarrow B)+\Delta E,\)

ahol

\(\displaystyle \Delta E=E_B-E_A=\frac52\left(p_BV_B-p_AV_A\right)=18{,}2-4{,}3=13{,}9\)

a kétatomos gáz belső energiájának megváltozása (\(\displaystyle 10^4\ {\rm Pa}\cdot 1\ {\rm dm}^3=10\ \rm J\) egységekben mérve).

Hátra van még a \(\displaystyle W'(A\rightarrow B)\) munkavégzés kiszámítása. Ez a \(\displaystyle p-V\) diagramon az állapotváltozást leíró görbe (esetünkben körív) alatti, előjelesen értendő terület (növekvő térfogat esetén pozitív, csökkenőnél negatív az előjele).

2. ábra

A 2. ábráról leolvashatjuk, hogy mindkét terület egy téglalap, egy körcikk és egy derékszögű háromszög területének összege/különbsége:

\(\displaystyle T_1=2(1-\cos\alpha)-\frac12 \alpha+\frac12\sin\alpha\,\cos\alpha=0{,}2,\)

illetve

\(\displaystyle T_2=2(1+\sin\beta)+\frac12 \left(\frac\pi2+\beta\right)+\frac12\sin\beta\,\cos\beta =5{,}1.\)

A teljes munkavégzés a hőfelvétel alatt

\(\displaystyle W'(A\rightarrow B)=T_2-T_1=4{,}9,\)

a felvett hő pedig

\(\displaystyle Q_\text{fel}=4{,}9+13{,}9=18{,}8.\)

A ,,kör alakú'' körfolyamatot végző hőerőgép termikus hatásfoka tehát

\(\displaystyle \eta=\frac{W'}{Q_\text{fel}}=\frac{3{,}14}{18{,}8}=0{,}167\approx 17\%.\)

II. megoldás. A körfolyamat mentén vegyünk fel egyenletesen \(\displaystyle N\) darab pontot. Ekkor az előző megoldásban szereplő egységeket használva az \(\displaystyle i\). ponthoz tartozó nyomás és térfogat értékek:

\(\displaystyle p_i=2-\sin{\left(2\pi\frac{i}{N}\right)},\)

\(\displaystyle V_i=2+\cos{\left(2\pi\frac{i}{N}\right)},\)

ahol \(\displaystyle i\) egész szám, mely 1-től \(\displaystyle N\)-ig vehet fel értékeket.

Tekintsük a körfolyamat egy kis körív alakú szakaszát, melyet az \(\displaystyle i+1\). és \(\displaystyle i\). pont határol. Ezen a szakaszon az energia megváltozása

\(\displaystyle \Delta E_i = \frac{5}{2}\left(p_{i+1}V_{i+1}-p_iV_i\right).\)

Amennyiben \(\displaystyle N\) kellően nagy, akkor ezen kicsiny folyamat során a gázon végzett munka jól közelíthető egy trapéz területével. Azaz az \(\displaystyle i\). és \(\displaystyle i+1\). pontot egy egyenessel kötjük össze a görbe vonal helyett:

\(\displaystyle W_i=-\frac{p_i+p_{i+1}}{2}\left(V_{i+1}-V_{i}\right).\)

A kicsiny folyamat során a rendszerrel közölt hő mennyisége az I. főtétel alapján:

\(\displaystyle Q_i=\Delta E_i + W_i.\)

Ha ez az érték pozitív, akkor hőfelvétel, ha negatív, akkor hőleadás történik.

Akár egy Excel táblázat segítségével kiszámolhatjuk az összes kicsiny folyamatra a felvett (és negatív előjellel a leadott) hőmennyiségeket, melyek közül a pozitívakat kell összegeznünk, hogy a körfolyamat egésze során felvett hőt meghatározzuk. A számolás során figyelni kell, hogy a ciklikusság miatt az \(\displaystyle (N+1)\)-edik és az első pont megegyezik. \(\displaystyle N=10\) esetében \(\displaystyle Q_\textrm{fel}=18{,}7\), növelve az \(\displaystyle N\) értékét \(\displaystyle N=50\) esetében \(\displaystyle Q_\textrm{fel}=18{,}8\), még tovább növelve \(\displaystyle N=100\) esetében (három jegy pontossággal) az eredmény ugyanannyi: \(\displaystyle Q_\textrm{fel}=18{,}8\). Látható, hogy a felbontás finomításával hamar konvergál az érték.

A felvett hő meghatározása után az előző megoldás alapján számolhatjuk a hatásfokot.


Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.

A KöMaL 2023. áprilisi fizika feladatai