 |
A P. 5491. feladat (2023. május) |
P. 5491. Egy adott térbeli ponttól induló, különböző hajlásszögű lejtőkön egy kezdősebesség nélkül induló, kicsiny test csúszhat le. Hol helyezkednek el térben a lejtők azon pontjai, amelyeknél a súrlódási hő értékei megegyeznek?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(4 pont)
A beküldési határidő 2023. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. [ÍRTA: G. P.] Egy \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű lejtőn lecsúszó \(\displaystyle m\) tömegű testre \(\displaystyle F=\mu mg\cos\alpha\) súrlódási erő hat, aminek hatására \(\displaystyle s\) hosszú útszakaszon
\(\displaystyle Q=Fs=\mu mgs\cos\alpha\)
hő fejlődik, vagyis adott \(\displaystyle Q,m,g\) és \(\displaystyle \mu\) mellett
\(\displaystyle R\equiv s\cos\alpha=\dfrac{Q}{\mu mg}=\text{állandó}.\)
Az ábráról is leolvasható, hogy a kérdéses pontok a \(\displaystyle P\) ponton átmenő függőleges egyenestől \(\displaystyle R\) távolságra helyezkednek el, vagyis egy \(\displaystyle R\) sugarú henger palástjára esnek.
A test csak akkor csúszik le a lejtőn, ha \(\displaystyle \tg\alpha>\mu,\) vagyis a lejtők alsó pontjai a \(\displaystyle P\)-re illeszkedő vízszintes sík alatt mélyebben vannak, mint
\(\displaystyle H=R\,\tg\alpha_\text{min}=R\mu=\dfrac{Q}{mg}.\)
Megjegyzés. A megoldás ekvivalens azzal a többé-kevésbé ismert állítással, hogy a lejtőn a súrlódási munka (felszabaduló hő) megegyezik azzal az értékkel, mintha a test vízszintesen, a lejtő alapja mentén mozogna.
Statisztika:
32 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Csilling Dániel, Halász Henrik, Kis Márton Tamás, Molnár Kristóf, Seprődi Barnabás Bendegúz, Vágó Botond (6 versenyző). 3 pontot kapott: Bocor Gergely, Bodré Zalán, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Csiszár András, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Klement Tamás, Lévai Dominik Márk, Masa Barnabás, Szabó Zsombor, Waldhauser Miklós (14 versenyző). 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. májusi fizika feladatai