 |
A P. 5507. feladat (2023. szeptember) |
P. 5507. Két egyforma, érdes deszkát súrlódásmentes, vízszintes helyzetben rögzített tengely kapcsol össze. Mindkét deszka tömege \(\displaystyle m\), hossza \(\displaystyle \ell\).
A deszkák közé egy \(\displaystyle M=\frac 12 m\) tömegű, \(\displaystyle R=\frac 15 \ell\) sugarú hengert helyezünk.
\(\displaystyle a)\) Legalább mekkora kell legyen a deszkák és a henger közötti tapadási súrlódás együtthatója, hogy a henger valahol (egy alkalmasan választott helyen) egyensúlyban maradhasson?
\(\displaystyle b)\) Mekkora lehet a deszkák által bezárt szög a henger egyensúlyi állapotában?
Dózsa Márton (1914–1999) feladata nyomán
(6 pont)
A beküldési határidő 2023. október 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a deszkák által bezárt szög \(\displaystyle 2\varphi\), az egyes deszkák és a henger között ható nyomóerő \(\displaystyle N\), a súrlódási erő pedig \(\displaystyle S\) (lásd az 1. ábrát).
1. ábra
Mivel a deszkák és a henger érintkezési pontjai a forgástengelytől
\(\displaystyle OA=OA'=\frac{R}{\tg\varphi}=\frac{\ell}{5}\cdot \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}\)
távol vannak, továbbá \(\displaystyle OB=OB'=\ell/2\), a deszkáknak az \(\displaystyle O\) tengelyre vonatkoztatott forgatónyomaték-egyensúlyi feltétele:
\(\displaystyle N\,\frac{\ell}{5}\cdot \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}=mg\,\cfrac{\ell}{2}\sin\varphi,\)
vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle N=\frac52 \,\frac{\sin^2\varphi}{\cos\varphi}\,mg.\) |
Teljesülnie kell még a hengerre ható erők egyensúlyi feltételének is. Az eredő erő vízszintes komponense a szimmetria miatt biztosan nulla, így elegendő a függőleges erőkomponenseket összegezni:
\(\displaystyle Mg+2N\sin\varphi-2S\cos\varphi=0,\)
ahonnan \(\displaystyle M=m/2\) és (1) felhasználásával
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle S=\left( \frac{5\sin^3\varphi}{2\cos^2\varphi}+\frac{1}{4\cos\varphi} \right)mg \) |
adódik.
A tapadó súrlódás feltétele: \(\displaystyle S\le \mu N\), vagyis (1) és (2) ismeretében
\(\displaystyle \mu \ge \frac{S}{N}\equiv\tg\varphi+\frac{1}{10\,\tg^2\varphi}+\frac{1}{10}.\)
Ábrázolva az \(\displaystyle S/N\) hányadost \(\displaystyle \varphi\) függvényében a 2. ábrán látható görbét kapjuk.
2. ábra
A tapadó súrlódás akkor tarthat egyensúlyt, ha \(\displaystyle \mu\) a sárga tartományba esik. Láthatjuk, hogy a
\(\displaystyle \mu\ge \mu_\text{min}\approx 1{,}0\)
feltételnek kell teljesülnie, és a legkisebb súrlódási együttható esetén csak a \(\displaystyle 2\varphi\approx 60^\circ\) szöget bezáró deszkák lehetnek egyensúlyban. Ha \(\displaystyle \mu\)-t valahogyan meg tudjuk növelni (pl. a deszkák felületét érdesebbé tesszük), akkor egyre szélesebb szögtartományban alakulhat ki egyensúly.
Ezeket az eredményeket más úton (grafikus ábrázolás vagy differenciálszámítás nélkül) is megkaphatjuk. Bevezetve az \(\displaystyle x\equiv\tg\varphi\) jelölést az egyensúly feltétele:
\(\displaystyle \mu \ge x+\frac{1}{10\,x^2}+\frac{1}{10}\equiv f(x).\)
Alkalmazva a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle f(x)-\frac1{10}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{10\,x^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{10\,x^2}}= \sqrt[3]{\frac{27}{40}}.\)
\(\displaystyle f(x)\) legkisebb értékénél fennáll:
\(\displaystyle \frac{x_0}{2}=\frac{1}{10\,x_0^2}, \qquad \text{vagyis}\qquad x_0=\frac{1}{\root 3 \of {5}}\qquad\text{és}\qquad \varphi_0=\arctg x_0=30{,}3^\circ.\)
A legkisebb súrlódási együttható:
\(\displaystyle \mu_\text{min}=f(x_0)=\sqrt[3]{\frac{27}{40}}+\frac1{10}=0{,}977\approx 1{,}0.\)
Megjegyzés. A deszkák és a henger érintkezési pontjai legfeljebb \(\displaystyle \ell\) távolságra lehetnek a tengelytől. Emiatt teljesülnie kell még a
\(\displaystyle \tg\varphi \ge \frac{R}{\ell}=\frac15,\qquad \text{vagyis}\qquad \varphi\ge 11{,}3^\circ\)
feltételnek is.
Statisztika:
47 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Alexandrova Angelina, Bencz Benedek, Csapó András, Csóka Péter, Daniils Koselevs, Debreceni Dániel, Fehérvári Donát, Hegedüs Márk, Hüvös Gergely, Képes Botond, Kiss 131 Adorján Timon, Kovács Kristóf , Lincoln Liu, Molnár Kristóf, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás, Vidor Nikoletta, Vincze Farkas Csongor. 5 pontot kapott: Beke Botond, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Simon János Dániel, Žigo Boglárka. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. szeptemberi fizika feladatai