A P. 5509. feladat (2023. október)

P. 5509. Vízszintes talaj közelében lévő játékpuskából kilőtt kicsiny gumilövedék röppályájának emelkedési magassága megegyezik a lőtávolsággal.

\(\displaystyle a)\) A vízszintestől mérve milyen szögben lőttük ki a lövedéket?

\(\displaystyle b)\) Mekkorák ezek a távolságok, ha a test kezdősebessége 10 m/s volt?

\(\displaystyle c)\) Mekkora a pálya görbületi sugara a kilövés utáni pillanatban, illetve a pálya legmagasabb pontjában?

(A közegellenállást elhanyagolhatjuk.)

Közli: Holics László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás.

\(\displaystyle a)\) A \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel \(\displaystyle \alpha\) szögben kilőtt lövedék emelkedési magassága

\(\displaystyle y_0=\frac{v_0^2}{2g}\sin^2\alpha,\)

a lőtávolság pedig

\(\displaystyle x_0=\frac{2v_0^2}{g}\sin\alpha\,\cos\alpha.\)

Ez a két távolság akkor egyezik meg, ha

\(\displaystyle \tg\alpha=4, \qquad \text{vagyis} \qquad \alpha\approx76^\circ.\)

\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle v_0=10\) m/s, akkor

\(\displaystyle x_0=y_0=\frac{8}{17} \frac{v_0^2}{g}\approx 4{,}8\ \rm m.\)

\(\displaystyle c)\) A pálya legmagasabb pontjánál a lövedék sebessége a kilövési sebességvektor vízszintes komponensének nagyságával egyezik meg, vagyis

\(\displaystyle v_1=v_0\cos\alpha=\frac{v_0}{\sqrt{17}}\approx 2{,}43\ \frac{\rm m}{\rm s}.\)

Ha a lövedék (parabola alakú) pályáját egy kicsiny darabon \(\displaystyle R_1\) sugarú körrel (az ún. simulókörrel) közelítjük, akkor a lövedék (centripetális) gyorsulása \(\displaystyle v_1^2/R_1\) nagyságú és függőlegesen lefelé irányuló. Ez a gyorsulás a nehézségi gyorsulással egyezik meg, hiszen a lövedék szabadon mozog, csak az \(\displaystyle mg\) nehézségi erő hat rá. Ezek szerint

\(\displaystyle \frac{v_0^2\cos^2\alpha}{R_1}=g,\)

vagyis

\(\displaystyle R_1=\frac{v_0^2}{17g}\approx 60\ \rm cm.\)

Ekkora a pálya görbületi sugara a pálya legmagasabb pontjánál.

A kilövés helyénél a sebesség \(\displaystyle v_0\), és ha a simulókör sugara \(\displaystyle R_2\), akkor a mozgás irányára merőleges ,,centripetális gyorsulás'' a nehézségi gyorsulásnak az érintőre merőleges vetületével egyezik meg:

\(\displaystyle \frac{v_0^2}{R_2}=g\cos\alpha=\frac{g}{\sqrt{17}}.\)

Ennek megfelelően a görbületi sugár

\(\displaystyle R_2=\sqrt{17}\frac{v_0^2}{g}\approx 42\ \rm m.\)

Megjegyzés. A görbületi sugarakat differenciálszámítás felhasználásával ,,mechanikusan'' (fizikai megfontolások nélkül) is meghatározhatjuk.

A lövedék pályájának egyenlete

\(\displaystyle y=x\tg\alpha-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2,\)

vagyis \(\displaystyle \alpha\) ismert értéke mellett

\(\displaystyle y=4x-\frac{17}{2}\frac{g}{v_0^2}x^2.\)

A pálya tetőpontjához \(\displaystyle x_1=\frac{4}{17}\frac{v_0^2}{g}\), a kilövés helyéhez pedig \(\displaystyle x_2=0\) koordináta tartozik.

Matematika könyvekben vagy az interneten keresgélve megtalálhatjuk, hogy egy \(\displaystyle y(x)\) függvénnyel megadott síkgörbe tetszőleges pontjához tartozó görbületi sugár így számítható ki:

\(\displaystyle R=\frac{\left(1+y'^2\right)^{3/2}}{\left\vert y''\right\vert},\)

ahol \(\displaystyle y'\) a függvény első, \(\displaystyle y''\) pedig a második deriválat jelöli. Esetünkben

\(\displaystyle y'(x)=4-17\frac{g}{v_0^2}x, \qquad \text{illetve}\qquad y''(x)\equiv -17\frac{g}{v_0^2},\)

vagyis

\(\displaystyle y'(x_1)=0; \qquad y'(x_2)=4; \qquad y''(x_1)=y''(x_2)=-17\frac{g}{v_0^2}.\)

Ennek megfelelően az \(\displaystyle x_1\) pontban a görbületi sugár

\(\displaystyle R_1=\frac{v_0^2}{17 g},\)

a kilövési pontban pedig

\(\displaystyle R_2=\frac{v_0^2}{17 g}\cdot (1+16)^{3/2}=\sqrt{17}\frac{v_0^2}{g}.\)

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Alexandrova Angelina, Bánkuti Bálint, Beke Botond, Bélteki Teó, Bencz Benedek, Bencze Mátyás, Bocor Gergely, Bogdán Benedek, Csapó András, Csernyik Péter, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Diaconescu Tashi, Dobos Anita, Éger Viktória, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Gyerő Soma, Hegedüs Márk, Képes Botond, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Molnár Kristóf, Papp András, Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon János Dániel, Sütő Áron, Süveg Janka Villő, Szabó Donát, Szabó Imre Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Vincze Farkas Csongor, Wodala Gréta Klára.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2023. októberi fizika feladatai