A P. 5593. feladat (2024. október) |
P. 5593. Állandó mennyiségű héliumgázzal üzemelő hőerőgép körfolyamatának részleteit követhetjük nyomon a mellékelt nyomás-sűrűség diagramon. A gáz hőmérséklete a kiinduló, \(\displaystyle (1)\)-es állapotában \(\displaystyle 400~\mathrm{K}\), a \(\displaystyle (2)\)-es és a \(\displaystyle (3)\)-as állapotai között végbemenő folyamatban pedig nyomásának és sűrűségének szorzata állandó.
\(\displaystyle a)\) Mekkora a gáz hőmérséklete a \(\displaystyle (2)\)-es és a \(\displaystyle (3)\)-as állapotban?
\(\displaystyle b)\) Mekkora ennek a hőerőgépnek a hatásfoka?
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Az ideális gáz állapotegyenlete:
\(\displaystyle pV=\frac{mRT}{M}\quad\rightarrow\quad p=\frac{\varrho RT}{M},\)
ahol \(\displaystyle R=8{,}314\,\mathrm{\tfrac{J}{mol\,K}}\), \(\displaystyle M=0{,}004\,\mathrm{\tfrac{kg}{mol}}\), és így \(\displaystyle \tfrac{M}{R}=0{,}000481\,\mathrm{\tfrac{kg\,K}{J}}\). Ebből
$$\begin{align*} \varrho_1&=\frac{p_1}{T_1}\cdot\frac{M}{R}\approx 0{,}24\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\\ T_2&=\frac{p_2}{\varrho_2}\cdot\frac{M}{R}\approx 800\,\mathrm{K}. \end{align*}$$A (3)\(\displaystyle \rightarrow\)(1) folyamatban a sűrűség állandó, így
\(\displaystyle \varrho_3=\varrho_1\approx 0{,}24\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}.\)
A (2)\(\displaystyle \rightarrow\)(3) folyamatban \(\displaystyle p\varrho=\textrm{állandó}\), így
\(\displaystyle p_3=\frac{p_2\varrho_2}{\varrho_3}\approx 100\,\mathrm{kPa}.\)
Ezekből, ismét az állapotegyenletet használva
\(\displaystyle T_3=\frac{p_3}{\varrho_3}\cdot\frac{M}{R}\approx 200\,\mathrm{K}.\)
A gáz állapotjelzőit a folyamat megjelölt pontjain az 1. táblázatban foglaltuk össze.
1. táblázat
b) Rajzoljuk át a folyamatot a \(\displaystyle p\,\)-\(\displaystyle V\) állapotsíkra (ábra)!
Az (1)\(\displaystyle \rightarrow\)(2) folyamatban a nyomás állandó, a sűrűség csökken, így a térfogat nő, tehát ez egy izobár tágulás. A (2)\(\displaystyle \rightarrow\)(3) folyamatban a \(\displaystyle p\varrho\) szorzat állandóságából következően a \(\displaystyle \tfrac{p}{V}\) hányados állandó, azaz a folyamat a \(\displaystyle p\,\)-\(\displaystyle V\) állapotsíkon egy origón átmenő egyenesre illeszkedő szakasz. Végül a (3)\(\displaystyle \rightarrow\)(1) folyamatban a sűrűség állandóságából következtetően a térfogat is állandó, ez egy izochor folyamat.
Az ábrára berajzoltuk a (3)-as és (2)-es állapoton (folytonos piros vonallal), valamint a köztes, (1)-es állapoton (szaggatott piros vonallal) áthaladó adiabatákat. Láthatjuk, hogy a gáz a (3)\(\displaystyle \rightarrow\)(1) és (1)\(\displaystyle \rightarrow\)(2) folyamatban hőt vesz fel, a (2)\(\displaystyle \rightarrow\)(3) folyamatban pedig hőt ad le.
A (3)\(\displaystyle \rightarrow\)(1) izochor folyamatban a hőfelvétel
\(\displaystyle Q_{\textrm{fel},3\rightarrow 1}=\frac{3}{2}nR(T_1-T_3)=300\,\mathrm{K}\cdot nR,\)
az (1)\(\displaystyle \rightarrow\)(2) izobár folyamatban a hőfelvétel
\(\displaystyle Q_{\textrm{fel},1\rightarrow 2}=\frac{5}{2}nR(T_2-T_1)=1000\,\mathrm{K}\cdot nR.\)
A teljes körfolyamat alatt a gáz munkavégzése a \(\displaystyle p\,\)-\(\displaystyle V\) állapotsíkon a körfolyamat által körbezárt terület nagysága:
\(\displaystyle W_\mathrm{g}=\frac{1}{2}(p_1-p_3)(V_2-V_1)=\frac{nR}{2}(p_1-p_3)\left(\frac{T_2}{p_2}-\frac{T_1}{p_1}\right)=100\,\mathrm{K}\cdot nR.\)
Ez alapján a hőerőgép hatásfoka
\(\displaystyle \eta=\frac{W_\mathrm{g}}{Q_\mathrm{fel}}=\frac{100\,\mathrm{K}\cdot nR}{1300\,\mathrm{K}\cdot nR}=\frac{1}{13}\approx 7{,}7\%.\)
A folyamatok jellemzőit a 2. táblázatban foglaltuk össze.
2. táblázat
Megjegyzés. A hatásfokot azért nem lehet a Carnot-folyamatból ismert \(\displaystyle \eta=\tfrac{T_\mathrm{max}-T_\mathrm{min}}{T_\mathrm{max}}\) összefüggéssel számolni, mert ez nem egy Carnot-körfolyamat, esetünkben a hőfelvétel közben a gáz hőmérséklete – a Carnot-folyamattal ellentétben – folyamatosan változik, és így a hőcseréhez (elvileg) végtelen sok hőtartályra lenne szükség, hiszen reverzibilis hőátadás csak (majdnem) azonos hőmérsékletű hőtartályok között lehetséges. Ha a hőfelvétel végig egy \(\displaystyle T_\mathrm{max}=800\,\mathrm{K}\)-es ,,felső'' és egy \(\displaystyle T_\mathrm{min}=200\,\mathrm{K}\)-es ,,alsó'' hőtartályhoz kapcsolva történik, akkor a hőátadás irreverzibilis lesz, és így az entrópia nem marad állandó (növekszik), a hatásfok pedig rosszabb lesz, mint az ekkora hőmérsékletek között működő Carnot-gépé.
A gyakorlatban a sok hőtartály helyett például ellenáramlásos hőátadást használnak: a hideg gázt kezdetben a felmelegedett hűtőközeg melegíti (ahogyan a modern kéményekben a beáramló hideg levegőt a kiáramló forró égéstermék), és ezzel a hatásfok javítható. Természetesen az elvi határt jelentő Carnot-hatásfokot nem lehet túllépni.
Statisztika:
46 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Agócs Zoltán, Csiszár András, Erdélyi Dominik, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Hornok Máté, Horvath Benedek, Klement Tamás, Kovács Tamás, Sütő Áron, Tóth Hanga Katalin, Vértesi Janka, Zólomy Csanád Zsolt. 4 pontot kapott: Tóthpál-Demeter Márk. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai