A P. 5595. feladat (2024. október) |
P. 5595. Két, kis nyílásszögű, \(\displaystyle f\) fókusztávolságú homorú tükröt tükröző felületeikkel szemben úgy helyezünk el, hogy optikai tengelyeik egybeessenek, és egymástól való távolságuk \(\displaystyle 2f\) legyen (lásd ábra).
A közös optikai tengelyre hová helyezzük a \(\displaystyle T\), pontszerűnek tekinthető fényforrást, hogy a belőle induló fénysugarak a két tükörről való visszaverődés után a \(\displaystyle T\) ponton menjenek át?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. Az első leképzésnél a tárgytávolság (a \(\displaystyle T\) pont és az egyik tükör távolsága) legyen \(\displaystyle t_1\). Ekkor az első tükröződés után keletkező kép \(\displaystyle k_1\) távolsága a leképzési törvény \(\displaystyle \left(\tfrac{1}{f}=\tfrac{1}{t}+\tfrac{1}{k}\right)\) alapján:
\(\displaystyle k_1=\frac{ft_1}{t_1-f}.\)
Az első kép távolsága a másik tükörtől (\(\displaystyle t_2\)):
\(\displaystyle t_2=2f-k_1=\frac{f(t_1-2f)}{t_1-f},\)
és ebből a \(\displaystyle k_2\) második képtávolság:
\(\displaystyle k_2=\frac{ft_2}{t_2-f}=2f-t_1.\)
Azaz a második leképzés után a kép a \(\displaystyle t_1\) távolságtól függetlenül a \(\displaystyle T\) pontra esik, a fényforrás tehát bárhol lehet.
Megjegyzés. Ha \(\displaystyle t_1>f\), akkor az első kép valódi lenne, de a másik tükör mögé esik, így a második leképzésnek egy virtuális tárgya van (1. ábra). Ha \(\displaystyle t_1<f\), akkor az első leképzésnél látszólagos kép keletkezik, ezt képezi le a második visszaverődés (2. ábra). A második leképzés után viszont mindenképp valódi képet kapunk, és a végső nagyítás minden esetben \(\displaystyle N=N_1N_2=\tfrac{k_1}{t_1}\,\tfrac{k_2}{t_2}=-1\) lesz, tehát a kép mérete megegyezik a tárgyéval, de fordított állású lesz.
1. ábra
2. ábra
\(\displaystyle t_1=f\) esetében nem keletkezik az első tükröződés után kép, a fókuszsíkból induló fénysugarak a tükörről párhuzamosan verődnek vissza, amelyeket a másik tükör ismét a fókuszsíkba gyűjt, tehát ilyenkor is teljesül, hogy a fénysugarak kétszeres visszaverődés után a \(\displaystyle T\) ponton mennek át (3. ábra).
3. ábra
(Az ábrákon a fény először a jobb oldali, aztán a bal oldali tükrön tükröződik, de ennek az elrendezés szimmetriája miatt nincs jelentősége.)
II. megoldás. Még egyszerűbben jutunk az eredményre, ha a leképzési törvény Newton-féle alakját használjuk (lásd a G. 855. gyakorlatot a 2024. évi májusi számában és a megoldását a munkafüzetben). Ekkor a ,,fókuszontúli'' tárgy- és képtávolság \(\displaystyle x_\mathrm{t}=t-f\), illetve \(\displaystyle x_\mathrm{k}=k-f\), és ezekre teljesül az \(\displaystyle x_\mathrm{t}x_\mathrm{k}=f^2\) összefüggés. Esetünkben ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle x_\mathrm{t}\) és \(\displaystyle x_\mathrm{k}\) távolságokat a közös fókuszponttól kell mérni, és így \(\displaystyle x_\mathrm{t2}=-x_\mathrm{k1}\), amiből azonnal \(\displaystyle x_\mathrm{k2}=-x_\mathrm{t1}\) következik bármely \(\displaystyle x_\mathrm{t1}\) esetében.
Statisztika:
29 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Blaskovics Ádám. 3 pontot kapott: Bense Tamás, Bús László Teodor, Csiszár András, Kis Boglárka 08, Tóth-Tűri Bence, Vincze Anna. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai