 |
A P. 5596. feladat (2024. október) |
P. 5596. Ha egy egyenletes tömegsűrűségű, gömb alakú objektum sugara kisebb egy kritikus értéknél, akkor a felszínén olyan erős a gravitáció, hogy onnan még a fény sem tud eltávolodni, tehát egy fekete lyukként viselkedik. Becsüljük meg ezt a kritikus sugarat, ha tudjuk hogy értéke csak az objektum tömegétől, a Newton-féle gravitációs állandótól és a vákuumbeli fénysebességtől függ! Becsüljük meg mekkorára kellene összenyomni egy \(\displaystyle 7{,}25~\mathrm{kg}\) tömegű bowling golyót, hogy az fekete lyukként viselkedjen!
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Alkalmazzuk a dimenzióanalízis módszerét a becsléshez! A kritikus sugár (\(\displaystyle R\)) az alábbi összefüggésből számítható ki
\(\displaystyle R=k\cdot M^\alpha\cdot G^\beta\cdot c^\gamma,\)
ahol \(\displaystyle k\) egy dimenziótlan állandó, \(\displaystyle M\) a tömeg, \(\displaystyle G\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle c\) pedig a fénysebesség. A két oldal mértékegységeinek meg kell egyeznie:
\(\displaystyle \mathrm{m = kg^\alpha \cdot\left(\frac{m^3}{kg\;s^2}\right)^\beta\cdot\left(\frac{m}{s}\right)^\gamma},\)
ahonnan az exponensek értékeire \(\displaystyle \alpha=1\), \(\displaystyle \beta=1\) és \(\displaystyle \gamma=-2\) adódnak. A \(\displaystyle k\) dimenziótlan állandót a dimenzióanalízis segítségével nem tudjuk meghatározni, így ezzel a módszerrel csak nagyságrendi becslést tudunk végezni.
A bowling golyót nagyságrendileg \(\displaystyle R\sim \frac{GM}{c^2}=5{,}4\cdot 10^{-27}\,\mathrm{m}\) sugarú gömbre kellene összenyomni ahhoz, hogy az fekete lyukként viselkedjen. A kiszámolt sugár elképzelhetetlenül kicsi, kb. a proton sugarának \(\displaystyle 10^{-11}\)-ed része.
Megjegyzés. Egzakt, az általános relativitáselméleten alapuló számolásokkal megmutatható, hogy a dimenziótlan paraméter értéke kettő. Így a \(\displaystyle 2\frac{GM}{c^2}\) képlettel adható meg a kritikus sugár, melyet Karl Schwarzschild német fizikus után Schwarzschild-sugárnak neveztek el.
Bármilyen meggondolásból, ahol csak a feladatban használt három paraméter segítségével fejezzük ki a sugarat, nagyságrendileg helyes eredményt fogunk kapni, akkor is, ha közben fizikai helytelen feltételezéseket alkalmazunk. Lássunk erre két példát: (1) A fénynek \(\displaystyle m\) tömeget feleltetünk meg, és a klasszikus gravitációs energiáját a fény \(\displaystyle mc^2\) energiájával tesszük egyenlővé. (2) A második szökési sebességet a fénysebességgel tesszük egyenlővé.
Statisztika:
63 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Agócs Zoltán, Balázs Barnabás, Beinschroth Máté, Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Bense Tamás, Blaskovics Ádám, Bús László Teodor, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Domján Noémi Dóra, Éliás Kristóf , Erdélyi Dominik, Erős Fanni, Fercsák Flórián, Földes Márton, Földi Albert, Hajdu Eszter, Hornok Máté, Kávai Ádám, Kis Boglárka 08, Klement Tamás, Magyar Zsófia, Misik Balázs, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Pázmándi József Áron, Pituk Péter, Poló Zsófia , Sárecz Bence, Simon János Dániel, Sofró Dániel, Szabó Donát, Szabó Márton, Szécsi Bence, Szőke Bottyán, Tóth Hanga Katalin, Tóth-Tűri Bence, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Ujvári Sarolta, Varga 802 Zsolt, Varga Zétény, Vértesi Janka, Vincze Anna, Wolf Erik, Zádori Gellért. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2024. októberi fizika feladatai