Problem P. 5596. (October 2024)

P. 5596. If the radius of a spherical object, having uniform mass density, is less than a critical value, then gravity is so strong on its surface that even light cannot escape from it, so it behaves like a black hole. Let us estimate this critical radius, knowing that its value depends only on the mass of the object, the universal gravitational constant and the speed of light in vacuum. Estimate how much a bowling ball of mass \(\displaystyle 7.25~\mathrm{kg}\) should be compressed, in order that it behaves like a black hole!

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Alkalmazzuk a dimenzióanalízis módszerét a becsléshez! A kritikus sugár (\(\displaystyle R\)) az alábbi összefüggésből számítható ki

\(\displaystyle R=k\cdot M^\alpha\cdot G^\beta\cdot c^\gamma,\)

ahol \(\displaystyle k\) egy dimenziótlan állandó, \(\displaystyle M\) a tömeg, \(\displaystyle G\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle c\) pedig a fénysebesség. A két oldal mértékegységeinek meg kell egyeznie:

\(\displaystyle \mathrm{m = kg^\alpha \cdot\left(\frac{m^3}{kg\;s^2}\right)^\beta\cdot\left(\frac{m}{s}\right)^\gamma},\)

ahonnan az exponensek értékeire \(\displaystyle \alpha=1\), \(\displaystyle \beta=1\) és \(\displaystyle \gamma=-2\) adódnak. A \(\displaystyle k\) dimenziótlan állandót a dimenzióanalízis segítségével nem tudjuk meghatározni, így ezzel a módszerrel csak nagyságrendi becslést tudunk végezni.

A bowling golyót nagyságrendileg \(\displaystyle R\sim \frac{GM}{c^2}=5{,}4\cdot 10^{-27}\,\mathrm{m}\) sugarú gömbre kellene összenyomni ahhoz, hogy az fekete lyukként viselkedjen. A kiszámolt sugár elképzelhetetlenül kicsi, kb. a proton sugarának \(\displaystyle 10^{-11}\)-ed része.

Megjegyzés. Egzakt, az általános relativitáselméleten alapuló számolásokkal megmutatható, hogy a dimenziótlan paraméter értéke kettő. Így a \(\displaystyle 2\frac{GM}{c^2}\) képlettel adható meg a kritikus sugár, melyet Karl Schwarzschild német fizikus után Schwarzschild-sugárnak neveztek el.

Bármilyen meggondolásból, ahol csak a feladatban használt három paraméter segítségével fejezzük ki a sugarat, nagyságrendileg helyes eredményt fogunk kapni, akkor is, ha közben fizikai helytelen feltételezéseket alkalmazunk. Lássunk erre két példát: (1) A fénynek \(\displaystyle m\) tömeget feleltetünk meg, és a klasszikus gravitációs energiáját a fény \(\displaystyle mc^2\) energiájával tesszük egyenlővé. (2) A második szökési sebességet a fénysebességgel tesszük egyenlővé.

Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:	Agócs Zoltán, Balázs Barnabás, Beinschroth Máté, Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Bense Tamás, Blaskovics Ádám, Bús László Teodor, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Domján Noémi Dóra, Elekes Panni, Éliás Kristóf , Erdélyi Dominik, Erős Fanni, Fercsák Flórián, Földes Márton, Földi Albert, Hajdu Eszter, Hornok Máté, Kávai Ádám, Kis Boglárka 08, Klement Tamás, Magyar Zsófia, Misik Balázs, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Pázmándi József Áron, Pituk Péter, Poló Zsófia , Sárecz Bence, Simon János Dániel, Sofró Dániel, Szabó Donát, Szabó Márton, Szécsi Bence, Szőke Bottyán, Tóth Hanga Katalin, Tóth-Tűri Bence, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Ujvári Sarolta, Varga 802 Zsolt, Varga Zétény, Vértesi Janka, Vincze Anna, Wolf Erik, Zádori Gellért.
3 points:	4 students.
2 points:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2024