Problem P. 5602. (November 2024)

P. 5602. A piston in a horizontal cylinder seals off helium gas. The gas is heated by a 10 W heating element. The gas pushes the piston outwards uniformly. The cross section of the cylinder is \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}^2\). The external air pressure is \(\displaystyle 100~\mathrm{kPa}\). What is the speed of the piston?

(4 pont)

Deadline expired on December 16, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a gáz mennyisége \(\displaystyle n\) mol! A hélium egyatomos gáz, a melegítés során pedig állandó nyomás mellett tágul, ezért a folyamat során a moláris fajhője \(\displaystyle c_\mathrm{p}=\tfrac{5}{2}R\), azaz a rendszer hőkapacitása – feltételezve, hogy a henger és a dugattyú hőkapacitása elhanyagolható – \(\displaystyle C_\mathrm{p}=\tfrac{5}{2}nR\), ahol \(\displaystyle R\) az univerzális gázállandó. A fűtőteljesítményt \(\displaystyle L\)-lel jelölve \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt a gáz hőmérséklete

\(\displaystyle \Delta T=\frac{L\Delta t}{C_\mathrm{p}}=\frac{2L\Delta t}{5nR}\)

értékkel nő. Az univerzális gáztörvény szerint állandó \(\displaystyle p\) nyomás mellett ez

\(\displaystyle \Delta V=\frac{nR\Delta T}{p}=\frac{2L\Delta t}{5p}\)

térfogat növekedéssel jár. Ha \(\displaystyle \Delta s\)-sel jelöljük a dugattyú elmozdulását és \(\displaystyle A\)-val a henger keresztmetszetét, akkor \(\displaystyle \Delta V=A\Delta s\). Ezek felhasználásával

\(\displaystyle \Delta s=\frac{2L\Delta t}{5pA},\)

amiből a dugattyú sebessége

\(\displaystyle v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{2L}{5pA}.\)

Adatainkkal \(\displaystyle v=4\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m/s}\).

Megjegyzés. Érdemes észrevenni, hogy a dugattyú sebessége nem függ a gáz mennyiségétől. Ennek az a magyarázata, hogy pl. több gáz ugyan lassabban melegszik, de jobban tágul a hő hatására, és ez a két hatás kompenzálja egymást.

Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:	Agócs Zoltán, Beinschroth Máté, Bense Tamás, Blaskovics Ádám, Bús László Teodor, Csipkó Hanga Zoé , Elekes Panni, Éliás Kristóf , Fekete Lúcia, Földi Albert, Gyenes Károly, Hajdu Eszter, Illés Dóra, Klement Tamás, Masa Barnabás, Simon János Dániel, Sütő Áron, Szabó Donát, Tóth-Tűri Bence, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Varga 511 Vivien, Vértesi Janka, Zámbó Luca.
3 points:	Csiszár András, Hornok Máté, Kirst Alexander.
2 points:	2 students.
1 point:	3 students.
0 point:	24 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2024