 |
A P. 5619. feladat (2025. január) |
P. 5619. A Föld felszínéről függőlegesen felfelé az első kozmikus sebességgel elindítunk egy űrszondát.
a) Milyen magasra emelkedik a szonda?
b) Mennyi idő múlva esik vissza a földre?
A légellenállástól és a Föld forgásától tekintsünk el.
(Segítség: Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok c. cikk a honlapon.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. február 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle R\) sugarú Föld felszínéhez viszonylag közeli körpályán keringő \(\displaystyle m\) tömegű űrszonda sebessége (az első kozmikus sebesség)
\(\displaystyle m\frac{v_1^2}{R}=mg\)
mozgásegyenletnek megfelelően
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_1=\sqrt{Rg}.\) |
Az \(\displaystyle M\) tömegű Föld felszínénél a nehézségi gyorsulás:
\(\displaystyle g=\gamma\frac{M}{R^2},\)
ahonnan
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \gamma M=gR^2.\) |
a) Az űrszonda \(\displaystyle H\) emelkedési magassága az energiamegmaradás törvényéből kapható meg:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_1^2-\gamma\frac{Mm}{R}=0-\gamma\frac{Mm}{R+H}.\)
Innen (1) és (2) ismeretében adódik, hogy
\(\displaystyle \frac{Rg}{2}=gR^2\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+H}\right),\)
ahonnan \(\displaystyle H=R\) következik. A szonda tehát földsugárnyi magasságig emelkedik a Föld felszíne fölé.
b) A szonda pályája egy olyan ellipszis feleként fogható fel, aminek fél nagytengelye \(\displaystyle R\), a fél kistengelye (\(\displaystyle \varepsilon)\) pedig sokkal kisebb \(\displaystyle R\)-nél. Egy ilyen ellipszispályán mozgó űrszonda teljes keringési ideje (ha a Földet egy \(\displaystyle M\) tömegű tömegponttal helyettesítenénk) Kepler 3. törvénye szerint ugyanakkora lenne, mint a földközeli körpályán mozgó műholdé:
\(\displaystyle T_\textrm{ellipszis}=\frac{2R\pi}{v_1}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\approx 84\,\mathrm{min}.\)
A feladatban szereplő űrszonda azonban csak az ellipszis felét futja be, mozgásának ideje tehát (Kepler 2. törvénye szerint)
\(\displaystyle T_\textrm{félellipszis}= \frac{\tfrac{1}{2}R\varepsilon\pi+R\varepsilon}{R\varepsilon\pi}T_\textrm{ellipszis}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\right)\cdot 84\,\mathrm{min}\approx 68\,\mathrm{min}.\)
Az utolsó lépésben felhasználtuk, hogy az ,,elfajult ellipszis'' fókuszpontja határesetben a nagytengely végpontjához kerül, a vezérsugár által súrolt terület pedig az ellipszis félterületének és egy \(\displaystyle 2\varepsilon\) alapú, \(\displaystyle R\) magasságú háromszög területének az összege.
Megjegyzés. A b) kérdésre integrálszámítás alkalmazásával is válaszolhatunk. A felfelé emelkedő szonda sebessége a Föld középpontjától \(\displaystyle xR\) távolságban (\(\displaystyle 1\le x\le 2\)) az energiamegmaradás tétele szerint
\(\displaystyle v(x)=\sqrt{Rg\left(2/x-1\right)},\)
és így a felfelé mozgás ideje
\(\displaystyle \frac{1}{2}T_\textrm{félellipszis}=\int_1^2\frac{1}{v(x)}\,\mathrm{d}(Rx)=\sqrt{\frac{R}{g}}\int_1^2\frac{1}{\sqrt{2/x-1}}\,\mathrm{d}x.\)
A Geogebra program szerint
\(\displaystyle \int_1^2\frac{1}{\sqrt{2/x-1}}\,\mathrm{d}x\approx 2{,}57,\)
a WolframAlpha pedig a ,,pontos'' \(\displaystyle 1+\frac{\pi}{2}\) értéket is megadja. Ennek megfelelően \(\displaystyle T_\textrm{félellipszis}\approx 68\,\mathrm{min}\).
Statisztika:
36 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Márton Csaba, Bencze Mátyás, Benyó Júlia , Bús László Teodor, Csiszár András, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Masa Barnabás, Simon János Dániel, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint. 4 pontot kapott: Kovács Tamás. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2025. januári fizika feladatai