A P. 5622. feladat (2025. január)

P. 5622. Vízszintes, súrlódásmentes, szigetelő asztallapon egymástól távol két \(\displaystyle q\) töltésű, \(\displaystyle m\) tömegű, kis méretű, szigetelő korong található. Kezdetben ellentétes irányú, \(\displaystyle v\) nagyságú sebességgel mozogva közelednek. Ha nem lenne töltésük, az ábra szerinti, egymástól \(\displaystyle b\) távolságra lévő egyenesek mentén mozognának. Mekkora lesz a mozgás során a két korong minimális sebessége?

Közli: Németh Róbert, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. február 17-én LEJÁRT.

Megoldás: Mivel a két töltésből álló rendszerben csak belső erők hatnak, a teljes lendület időben állandó, azaz mindvégig zérus. Ezzel ekvivalens tulajdonság, hogy a rendszer tömegközéppontja végig mozdulatlan. A Coulomb-erők centrálisak is, így minden pillanatban a tömegközépponttól elfele mutatnak, és eredő forgatónyomatékot nem fejtenek ki. Ez pedig már implikálja a perdület megmaradását.

Jelölje a keresett minimális sebességet \(\displaystyle u\), a testek távolságát ennek elérésekor pedig \(\displaystyle d\). A szélsőérték-tulajdonság következménye, hogy ebben a pillanatban a testek sebessége merőleges az őket összekötő szakaszra, így a perdületmegmaradás alakja:

\(\displaystyle mvb=mud.\)

Teljesül emellett az energiamegmaradás törvénye is:

\(\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}mv^2=2\cdot\frac{1}{2}mu^2+\frac{kq^2}{d}.\)

Az egyenletekből \(\displaystyle d\) kiküszöbölhető, az eredmény egy másodfokú egyenlet az \(\displaystyle u\) változóra:

\(\displaystyle u^2+\frac{kq^2}{mvb}u-v^2=0.\)

A fizikailag releváns pozitív megoldásból adódik a végeredmény:

\(\displaystyle u=\sqrt{v^2+\left(\frac{kq^2}{2mvb}\right)^2}-\frac{kq^2}{2mvb}.\)

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Kovács Tamás, Simon János Dániel, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint.
4 pontot kapott:	Ujvári Sarolta.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. januári fizika feladatai