Problem P. 5623. (January 2025)

P. 5623. At what constant speed should a spacecraft travel to a distant star if the astronauts are to age the same number of years as the distance to the star in light years?

(4 pont)

Deadline expired on February 17, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először vizsgáljuk az utazást a földi megfigyelők vonatkoztatási rendszerében! A \(\displaystyle s\) távolságra lévő csillaghoz a \(\displaystyle v\) sebességű űrhajóval \(\displaystyle t=\frac{s}{v}\) idő alatt jutnak el az űrhajósok. Az \(\displaystyle s\) távolságot a fény légüres térben \(\displaystyle \tau=\frac{s}{c}\) idő alatt teszi meg. Ha a \(\displaystyle \tau\) időt év egységekben mérjük, akkor az megadja, hogy hány fényév távolságra van a távoli csillag a Földtől.

Az űrhajósok vonatkoztatási rendszerében az utazás ideje az idődilatációs formula alapján \(\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}t\) ideig tart, azaz ennyi időt öregednek az űrhajósok. A feladat szövege alapján ez az idő éppen megegyezik \(\displaystyle \tau\)-val. Innen a következő egyenletre jutunk:

\(\displaystyle \tau=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{c}{v}\tau,\)

melynek megoldása megadja az űrhajó sebességét: \(\displaystyle v=\frac{c}{\sqrt{2}}\).

Statistics:

43 students sent a solution.
4 points:	Balázs Barnabás, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Blaskovics Ádám, Bor Noémi, Bús László Teodor, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Elekes Panni, Földes Márton, Hajdu Eszter, Hasulyó Dorián, Hornok Máté, Hübner Júlia, Kis Boglárka 08, Klement Tamás, Magyar Levente Árpád, Magyar Zsófia, Misik Balázs, Molnár Lili, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Sárecz Bence, Simon János Dániel, Sipos Márton, Sütő Áron, Szécsi Bence, Tóth-Tűri Bence, Vértesi Janka, Vincze Anna.
3 points:	Konkoly Zoltán, Monok Péter, Varga Zétény.
2 points:	4 students.
1 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, January 2025