Problem P. 5629. (February 2025)

P. 5629. An imaginary solar system is an almost exact replica of our solar system, except that all the linear dimensions are half the size of the real system. The density of the imaginary celestial bodies is the same as the density of the real ones. What is the orbital period of the mini-Earth in the imaginary solar system?

(4 pont)

Deadline expired on March 17, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle M\) tömegű csillag körül \(\displaystyle R\) sugarú körpályán \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel mozgó bolygóra (a Newton-féle gravitációs törvény és a mozgásegyenlet szerint) fennáll:

\(\displaystyle \gamma\frac{M}{R^2}=R\omega^2.\)

A képzeletbeli, felére lekicsinyített naprendszerben a csillag tömege (változatlan sűrűség mellett) \(\displaystyle M'=\tfrac{1}{8}\,M\), a bolygó pályasugara \(\displaystyle R'=\tfrac{1}{2}\,R\), a keringés szögsebessége pedig valamekkora \(\displaystyle \omega'\) lenne, és fennállna:

\(\displaystyle \gamma\frac{M'}{R'^2}=R'\omega'^2.\)

A fenti két egyenlet hányadosából kapjuk, hogy

\(\displaystyle \left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^2=\frac{M'}{M}\,\left(\frac{R}{R'}\right)^3=\frac{1}{8}\cdot 2^3=1.\)

Ezek szerint a mini föld szögsebessége ugyanakkora lenne, mint az igazi Földé, és ennek megfelelően a keringési ideje változatlanul 1 év maradna.

Statistics:

57 students sent a solution.
4 points:	Bálint Áron, Beinschroth Máté, Beke Márton Csaba, Bencze Mátyás, Bense Tamás, Benyó Júlia , Blaskovics Ádám, Bús László Teodor, Csiszár András, Elekes Panni, Éliás Kristóf , Erdélyi Dominik, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Fercsák Flórián, Gyenes Károly, Hornok Máté, Hübner Júlia, Kis Boglárka 08, Klement Tamás, Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Misik Balázs, Molnár Lili, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Pituk Péter, Poló Zsófia , Sipos Márton, Szécsi Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk, Ujvári Sarolta, Varga 802 Zsolt, Vértesi Janka, Vincze Anna, Zámbó Luca.
3 points:	Kovács Tamás, Monok Péter, Páternoszter Tamás.
2 points:	3 students.
1 point:	7 students.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2025