Problem P. 5637. (March 2025)

P. 5637. The heat capacity of the interior of a freezer is \(\displaystyle 4\cdot 10^5\mathrm{\tfrac{J}{K}}\), and we want to keep the temperature inside the freezer at \(\displaystyle (-18\pm 1)~{}^\circ\mathrm{C}\). The freezer is in a room of temperature \(\displaystyle 20~{}^\circ\mathrm{C}\). The refrigerator motor will start when the temperature inside reaches \(\displaystyle -17~{}^\circ\mathrm{C}\). After the motor has been running for 15 minutes, the temperature in the interior of the refrigerator reaches \(\displaystyle -19~{}^\circ\mathrm{C}\) again. At least what is the power of the freezer's motor? (Assume that the refrigerator is operating as an ideal Carnot heat pump, which is a reversed Carnot cycle.)

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy Carnot körfolyamat során a rendszer egy \(\displaystyle T_1\) hőmérsékletű felső hőtartályból \(\displaystyle Q_1\) hőt vesz fel, melynek hasznosításával \(\displaystyle W\) munkát végez, miközben a \(\displaystyle T_2\) hőmérsékletű alsó hőtartálynak \(\displaystyle Q_2=Q_1-W\) hőt ad le. A fordított irányú folyamatban a befektetett munka árán az alsó hőtartályból elvont hő a végzett munkának megfelelő hőenergiával együtt a felső hőtartályban jelenik meg. Mivel az ideális folyamat reverzibilis, a megfelelő mennyiségek nagysága azonos. Az ideális Carnot ciklus hatásfoka

\(\displaystyle \eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{T_1-T_2}{T_1},\)

amiből

\(\displaystyle W=Q_1-Q_2=\frac{T_1-T_2}{T_2}Q_2.\)

Esetünkben egy lehűtési szakasz alatt a hűtendő tér (,,alsó hőtartály'') hőmérséklete változik, azaz a folyamat során ugyanannyi hő elvonásához változó mennyiségű munkát kell befektetnünk, de mivel a hőmérséklet változás kicsiny, jó közelítéssel számolhatunk a \(\displaystyle T_2=-18\,^{\circ}\mathrm{C}=255\,\mathrm{K}\) átlagos értékkel. Felső hőtartálynak a környezetet tekintjük, azaz \(\displaystyle T_1=20\,^{\circ}\mathrm{C}=293\,\mathrm{K}\)-ot veszünk. Ennek megfelelően

\(\displaystyle W=0{,}15\,Q_2.\)

Egy 15 perces, azaz \(\displaystyle 900\,\mathrm{s}\) hosszú hűtési szakasz alatt az elvonandó hő \(\displaystyle Q_2=4\cdot 10^5\,\mathrm{\tfrac{J}{K}}\cdot 2\,\mathrm{K}=8\cdot 10^5\,\mathrm{J}\), tehát \(\displaystyle W=1{,}2\cdot 10^5\,\mathrm{J}\), ami \(\displaystyle P=133\,\mathrm{W}\) motor teljesítményt jelent.

Megjegyzések. 1. A körfolyamatban résztvevő hűtőközeg számára a felső hőmérséklet valójában a hűtőgép hűtőrácsának a hőmérséklete, ez azonban működéskor mindig a környezet fölé melegszik, hogy a kialakuló hőmérséklet különbség biztosítsa a rácson a hőleadást. Hasonló módon a hűtőteret körülvevő csőhálózat hőmérséklete, azaz a hűtőközeg számára az alsó hőmérséklet alacsonyabb, mint a hűtőtéré. (Ennek is köszönhető, hogy a belső tér nem egyenletes hőmérsékletű, ahogy az a jegesedés nem egyenletes voltából is látszik.) Mindkét hatás a fent kiszámított értéknél nagyobb teljesítményt tesz szükségessé.

2. A láda belseje és a környezet közötti hővezetést elhanyagoljuk a lehűtési szakaszban.

Statistics:

30 students sent a solution.
4 points:	Balázs Barnabás, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Bor Noémi, Csiszár András, Klement Tamás, Masa Barnabás, Misik Balázs, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Pituk Péter, Poló Zsófia , Sárecz Bence, Sipos Márton, Tóth Bertalan, Zámbó Luca.
3 points:	Hornok Máté, Kávai Ádám, Molnár Lili, Sütő Áron, Tóth-Tűri Bence, Ujpál Bálint, Varga 802 Zsolt, Wolf Erik.
2 points:	4 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, March 2025