 |
A P. 5664. feladat (2025. szeptember) |
P. 5664. Sokszor halljuk, hogy a sarkokon olvadó jég lassítja a Föld tengely körüli forgását. Becsüljük meg a jelenség nagyságát! Az Antarktisz területe \(\displaystyle 14~\textrm{millió km}^2\), az Arktisz jégtakaróját is tekintsük ugyanekkorának. Vizsgáljuk azt, ha a Déli, illetve az Északi sarkon 1 m vastagságban elolvad a jég.
a) Mennyivel változik a tengerszint az egyik és a másik esetben?
b) Mennyivel változik egy földi nap hossza?
Közli: Cserti József, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás. a) I. Az Antarktisz jégtakarójának területe \(\displaystyle A_\mathrm{j}=14\,\mathrm{millió\,km^2}=1{,}4\cdot 10^{13}\,\mathrm{m^2}\). A \(\displaystyle d_\mathrm{j}=1\,\mathrm{m}\) vastag, elolvadó jég tömege \(\displaystyle m_\mathrm{j}=A_\mathrm{j}d_\mathrm{j}\varrho_\mathrm{j}=1{,}28\cdot 10^{16}\,\mathrm{kg}\), ahol \(\displaystyle \varrho_\mathrm{j}=917\,\mathrm{kg/m^3}\) a jég sűrűsége. Ez elolvadva
\(\displaystyle V_\mathrm{v}=\frac{m_\mathrm{j}}{\varrho_\mathrm{v}}=1{,}28\cdot 10^{13}\,\mathrm{m^3}\)
vizet jelent, amely egyenletesen elterül a világtengereken. (\(\displaystyle \varrho_\mathrm{v}=1000\,\mathrm{kg/m^3}\) a víz sűrűsége.) A Föld teljes felszíne \(\displaystyle A_\mathrm{F}\approx 4\pi R_\mathrm{F}^2=5{,}1\cdot 10^{14}\,\mathrm{m^2}\) (ahol \(\displaystyle R_\mathrm{F}=6{,}37\cdot 10^6\,\mathrm{m}\) a Föld közepes sugara). Ennek kicsit kevesebb, mint egy harmada, \(\displaystyle 29{,}2\%\)-a a szárazföldek területe, így a tengerek összterülete \(\displaystyle A_\mathrm{t}=(1-0{,}292)A_\mathrm{F}\approx 3{,}6\cdot 10^{14}\,\mathrm{m^2}\). Ezek alapján a tengerszint emelkedése az antarktiszi jégréteg elolvadása miatt
\(\displaystyle \Delta h_\mathrm{t}=\frac{V_\mathrm{v}}{A_\mathrm{t}}\approx 3{,}5\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}=3{,}5\,\mathrm{cm}.\)
Megjegyzések. 1. A meleg víz hőtágulásával nem számolunk, hiszen nincsenek arra adataink, hogy a világtengerek különböző részein milyen hőmérsékletű a tenger felszíne.
2. Az Antarktisz jégtakarójának átlagos vastagsága \(\displaystyle 2{,}16\,\mathrm{km}\), így ha a teljes jégtakaró elolvadna, akkor a tengerszint emelkedése – csak az Antarktisz miatt – ennek több mint 2000-szerese, azaz kb. \(\displaystyle 75\,\mathrm{m}\) lenne.
II. A feladat szövege szerint az Arktisz jégtakarójának területét tekintsük ugyanekkorának. Így az elolvadó jég tömege és a keletkező víz térfogata is megegyezik az Antarktisz esetében számolt értékkel. Azonban az Arktiszon nincs szárazföld, a jég a tengeren úszik, és így pontosan akkora térfogatú vizet szorít ki, mint amekkora a tömege. Emiatt az itt elolvadó jég nem változtatja meg a tengerszintet.
b) A sarkokon elhelyezkedő jégtakarót kör alakúnak feltételezve a sugara
\(\displaystyle r_\mathrm{j}=\sqrt{\frac{A_\mathrm{j}}{\pi}}=2{,}1\cdot 10^6\,\mathrm{m},\)
és így a pereme a déli, illetve északi
\(\displaystyle \varphi=90^\circ-\frac{180^\circ}{\pi}\,\frac{r_\mathrm{j}}{R_\mathrm{F}}\approx 71^\circ\)
szélességi körön helyezkedik el. Ennek a szélességi körnek a síkja mindössze a Föld sugarának 5%-ára van a sarkoktól, így a gömbsüveg helyett – a megoldásunk közelítésében – számolhatunk körlappal. Így a \(\displaystyle d_\mathrm{j}=1\,\mathrm{m}\) vastag jégréteg tehetetlenségi nyomatéka:
\(\displaystyle \Theta_\mathrm{j}=\frac{1}{2}m_\mathrm{j}r_\mathrm{j}^2=\frac{\pi}{2}\varrho_\mathrm{j}d_\mathrm{j}r_\mathrm{j}^4=2{,}8\cdot 10^{28}\,\mathrm{kg\,m^2}.\)
I. Az Antarktisz esetében ez a jégtömeg elolvadás után egyenletesen eloszlik a világtengereken. A kontinensek eloszlása nem egyenletes, de a megoldásunk közelítésében vehetjük úgy, hogy a tömeg egyenletesen oszlik el a Föld felszínén, azaz egy nagyon vékony gömbhéjként vehető figyelembe. Ennek tehetetlenségi nyomatéka:
\(\displaystyle \Theta_\mathrm{v}=\frac{2}{3}m_\mathrm{j}R_\mathrm{F}^2=3{,}46\cdot 10^{29}\,\mathrm{kg\,m^2}.\)
Eszerint a tehetetlenségi nyomaték változása:
\(\displaystyle \Delta\Theta=\Theta_\mathrm{v}-\Theta_\mathrm{j}=3{,}18\cdot 10^{29}\,\mathrm{kg\,m^2}.\)
A Föld tehetetlenségi nyomatéka – a Földet durva közelítéssel \(\displaystyle m_\mathrm{F}=5{,}97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}\) tömegű homogén gömbnek tekintve:
\(\displaystyle \Theta_\mathrm{F}=\frac{2}{5}m_\mathrm{F}R_\mathrm{F}^2=9{,}7\cdot 10^{37}\,\mathrm{kg\,m^2}.\)
A föld \(\displaystyle \Theta\omega\) perdülete állandó, így ha a Föld tehetetlenségi nyomatéka (nagyon) kis mértékben megnő, akkor a szögsebessége ugyanilyen arányban csökken, a napok \(\displaystyle T=\tfrac{2\pi}{\omega}\) hossza pedig ugyanilyen arányban megnő. Eszerint az antarktiszi jégréteg elolvadása miatt a napok átlagos hossza
\(\displaystyle \Delta T=\frac{\Delta\Theta}{\Theta_\mathrm{F}}T=3{,}3\cdot 10^{-9}\,T=2{,}8\cdot 10^{-4}\,\mathrm{s}=0{,}28\,\mathrm{ms}\)
időtartammal megnövekszik.
II. Az Arktisz esetében az előző rész gondolatmenete alapján nem történik változás.
Statisztika:
26 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Erdélyi Dominik, Tasnádi Zsófia. 4 pontot kapott: Békési Máté, Bogdán Balázs Ákos, Kovács Tamás , Kovács Tamás, Rajtik Sándor Barnabás, Ruzsics Gréta, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Zólomy Csanád Zsolt. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2025. szeptemberi fizika feladatai