A P. 5668. feladat (2025. szeptember)

P. 5668. A deutérium a hidrogén izotópja, atommagja egy protonból és egy neutronból áll. Hasonlítsuk össze a deutérium atom kilogrammban mért tömegét egy proton, egy neutron és egy elektron tömegének összegével! Mivel magyarázható a különbség? A magfizikusok ezt a különbséget a számításaik megkönnyítése érdekében \(\displaystyle 2{,}2~\mathrm{MeV}/c^2\) alakban adják meg. Igazoljuk, hogy ez megegyezik az általunk számított különbséggel! Az adatokat megtalálhatjuk a következő táblázatban: https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A táblázatokban (például: https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf) az izotópok tömegét atomi tömegegységben (u) szokás megadni, illetve sokszor használják még a MeV/\(\displaystyle c^2\) egységet is (\(\displaystyle 1\,\mathrm{MeV}=10^6\,\mathrm{eV}\)):

\(\displaystyle 1\,\mathrm{u}=1{,}660\,539\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}=931{,}494\,\mathrm{MeV/}c^2.\)

Az átváltás a tömeg-energia ekvivalenciát kifejező híres Einstein-egyenlet (\(\displaystyle E=mc^2\)), valamint az elemi töltésen 1 V hatására végzett munka \(\displaystyle 1\,\mathrm{eV}=1{,}602\,177\cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}\) alapján látható be.

A proton tömege: \(\displaystyle 1{,}007\,276\,\mathrm{u}\), a neutron tömege: \(\displaystyle 1{,}008\,665\,\mathrm{u}\), míg az elektron tömege: \(\displaystyle 5{,}4858\cdot 10^{-4}\,\mathrm{u}\), és ezek összege \(\displaystyle 2{,}016\,490\,\mathrm{u}=3{,}348\,460\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}.\)

Ezzel szemben a deutérium tömege: \(\displaystyle 2{,}014\,102\,\mathrm{u}=3{,}344\,493\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\), ami valamivel kisebb, mint az összetevők tömege. Ezt tömeghiánynak nevezzük, melynek nagysága: \(\displaystyle \Delta m=3{,}967\cdot 10^{-30}\,\mathrm{kg}=0{,}002\,388\,\mathrm{u}=2{,}224\,\mathrm{MeV/}c^2\approx 2{,}2\,\mathrm{MeV/}c^2\).

A deutérium esetében a tömeghiány kb. négy és egyharmad elektrontömegnek felel meg. Ha egy protonból és egy neutronból deuteron (a deutérium atommagja) keletkezik, akkor a tömeghiány úgy jelenik meg, hogy a deuteron létrejöttekor keletkezik egy meglehetősen nagy, 2,2 MeV energiájú \(\displaystyle \gamma\)-foton. A deuteron stabil részecske, amit úgy bonthatunk összetevőire, ha legalább 2,2 MeV energiájú \(\displaystyle \gamma\)-fotonnal bombázzuk. Ezért szokás ezt az energiát a deuteron kötési energiájának nevezni.

Megjegyzések. 1. A táblázatokban nem az atommagok tömegét szokás megadni, hanem a semleges atomokét, vagyis az atommagok mellett az atomi elektronok tömege is benne van a nagy pontossággal megadott számértékekben.

2. Az atomi elektronoknak is van kötési energiája, azonban ezek több nagyságrenddel kisebbek a magok kötési energiájánál, tehát ezeket nem kell figyelembe vennünk.

3. A deuteronnak nincsenek gerjesztett állapotai, csak a 2,2 MeV-es alapállapota létezik.

4. A deuteron létrejöttekor keletkező foton energiája kicsit kisebb, mint 2,2 MeV, mert a szereplőknek (p, n, deuteron) a mozgási energiája is megváltozik, hiszen a foton impulzust is elvisz. Azonban ez a GeV-es nagyságrendű nyugalmi tömegek mellett elhanyagolható, de elvileg mégis van ilyen különbség. Hasonlóan egy álló deuteron alkotóelemeire bontásakor sem elegendő egy pontosan 2,2 MeV energiájú foton, mert az impulzusmegmaradás miatt nem keletkezhet álló proton és neutron, hanem ennél kissé nagyobb energiára van szükség.

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Erdélyi Dominik, Ferencz Kevin, Gombos Barna, Hajdu Eszter, Hornok Máté, Kossár Benedek Balázs, Lakatos Levente, Murányi Nimród Máté, Tasnádi Zsófia, Török Tibor, Winhoffer Júlia, Zádori Gellért.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. szeptemberi fizika feladatai