 |
A P. 5686. feladat (2025. november) |
P. 5686. Űrhajósok egy a Földről induló \(\displaystyle 3/5\,c\) sebességgel távolodó űrhajóval elindulnak felfedezni a távoli univerzumot. A földi irányítók az indítás után \(\displaystyle T\) idővel a rakomány egy részét egy másik, \(\displaystyle 4/5\,c\) sebességgel haladó rakétával az űrhajó után küldik.
a) Mekkora sebességgel mozog a rakéta az űrhajósok koordináta-rendszerében?
b) Mennyi idő telik el a rakományt szállító rakéta elindulása és megérkezése között a földi irányítók, illetve az űrhajósok vonatkoztatási rendszerében?
A rakéta és az űrhajó gyorsításához szükséges idő elhanyagolható \(\displaystyle T\) mellett.
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Mind a Föld \(\displaystyle \cal{K}\), mind az űrhajó \(\displaystyle \cal{K}^\prime\) koordináta-rendszerében úgy jelöljük ki az \(\displaystyle x\) tengelyt, hogy annak az irány egybe essen az űrhajó sebességének az irányával!
a) A relativisztikus sebesség-transzformáció szabálya szerint a Földtől \(\displaystyle v=(3/5)c\) sebességgel távolodó űrhajó rendszerében a Földről \(\displaystyle v_x=(4/5)c\) sebességgel indított rakéta sebessége
\(\displaystyle v_x^\prime=\frac{v_x-v}{1-\frac{v_xv}{c^2}}=\frac{5}{13}c.\)
b) Jelölje \(\displaystyle t\) a teherűrhajó utazásának időtartamát. A találkozásig mind a személy-, mind a teherűrhajó azonos \(\displaystyle s\) utat tesz meg, amely
\(\displaystyle s=(T+t)v=tv_x.\)
Ebből
\(\displaystyle t=\frac{v}{v_x-v}T=3T.\)
A személyűrhajó rendszerében a Föld \(\displaystyle -v\) sebességgel távolodik visszafele. A Föld saját-idejében \(\displaystyle T\) időtartam az űrhajó rendszerében
\(\displaystyle T^\prime=\frac{T}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}=\frac{5}{4}T\)
hosszú. Ez alatt a Föld és az űrhajó közötti távolság
\(\displaystyle s^\prime=vT^\prime=\frac{3}{4}cT\)
értékre nő. Ezt a teher-rakéta
\(\displaystyle t^\prime=\frac{s^\prime}{v_x^\prime}=\frac{39}{20}T\)
idő alatt teszi meg.
Megjegyzés. Eredményünk ellenőrzésére lehetőséget ad a következő gondolatmenet: A személyszállító űrhajó indulása és a teherhajó érkezése (a \(\displaystyle \cal{K}^\prime\) rendszerben a Föld ,,indulása'' és a teherhajó érkezése) a \(\displaystyle \cal{K}^\prime\) rendszerben ugyanott történik, tehát a két esemény közötti \(\displaystyle T^\prime+t^\prime\) sajátidőre érvényes, hogy
\(\displaystyle \frac{\left(T^\prime+t^\prime\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}=\left(T+t\right).\)
Adatainkat behelyettesítve láthatjuk, hogy ez valóban teljesül. Fontos megjegyezni, hogy ez az összefüggés nem áll fenn külön-külön a \(\displaystyle T^\prime\) és \(\displaystyle T\), illetve a \(\displaystyle t^\prime\) és \(\displaystyle t\) viszonyában, mert a két időtartamot elválasztó esemény, a teherrakéta indítása máshol történik a \(\displaystyle \cal{K}^\prime\) rendszerben, mint az összeg két végpontját adó események.
Statisztika:
31 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ambriskó Boldizsár, Borsics Bendegúz, Elekes Panni, Erdélyi Dominik, Horváth Péter, Monori Bence, Murányi Nimród Máté, Simon János Dániel, Sümeghi Nándor , Tasnádi Zsófia, Török Tibor, Vigh István Csaba, Zádori Gellért, Zhao Aaron . 4 pontot kapott: Beke Márton Csaba, Gilyán Zsombor, Winhoffer Júlia. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2025. novemberi fizika feladatai