Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.


K. 814. Egy mezőn birkanyáj legelészik. A birkák egy részét megjelölték, a megjelölt és a jelöletlen birkák számának aránya \(\displaystyle \dfrac{3}{5}\).

A jelöletlen birkák közül csak \(\displaystyle 17\) van megnyírva, a megjelölt birkákat mind megnyírták, viszont a megnyírt és a meg nem nyírt birkák száma egyenlő. Hány birka legelészik a réten?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás


K. 815. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög \(\displaystyle BC\) befogóján úgy vettük fel a \(\displaystyle D\) pontot, hogy \(\displaystyle BC=4BD\), az \(\displaystyle AC\) befogón felvett \(\displaystyle E\) pontra pedig \(\displaystyle AC=8CE\) teljesül.
Határozzuk meg az \(\displaystyle AB\) átfogó hosszát, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle AD=164\) és \(\displaystyle BE=52\).

vietnámi feladat

(5 pont)

megoldás


K. 816. Adott az \(\displaystyle {E(x)=\dfrac{8x-12}{4x^2-12x+9}-\dfrac{5x}{2x^2+3x}-\dfrac{20x}{9-4x^2}}\) kifejezés. Határozzuk meg azon \(\displaystyle x\) egész számokat, amelyekre \(\displaystyle E(x)\) természetes szám.

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

megoldás


K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.


K/C. 817. Egy dobozban van négy papírcetli, amelyek mindegyikére egy-egy pozitív számot írtunk. Kihúzunk valahány cetlit, majd a rajtuk lévő számokat összeadjuk. (Ha egy cetlit húzunk ki, akkor azt a számot vesszük, amely a cetlin van.) Ezt az összes lehetséges módon megcsináljuk. Milyen számok vannak a cetlikre írva, ha az így kapott eredmények mind egymást követő egész számok?

(5 pont)

megoldás


K/C. 818. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög befogóinak hossza \(\displaystyle BC=6\), \(\displaystyle CA=8\) egység. A \(\displaystyle BC\) befogó \(\displaystyle B\)-hez közelebb eső harmadolópontja \(\displaystyle P\), felezőpontja \(\displaystyle Q\), a \(\displaystyle CA\) befogó \(\displaystyle C\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle R\), felezőpontja \(\displaystyle S\), végül az \(\displaystyle AB\) átfogó \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle T\), felezőpontja \(\displaystyle U\). Tükrözzük a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle R\), \(\displaystyle T\) harmadolópontokat az \(\displaystyle ABC\) háromszög hozzájuk legközelebb eső csúcspontjára, a \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle S\), \(\displaystyle U\) felezőpontokat pedig a megfelelő háromszögoldal másik végpontjára az ábra szerint.

Határozzuk meg a \(\displaystyle P'U'R'Q'T'S'\) sokszög területét.

Javasolta: Bíró Bálint, (Eger)

(5 pont)

megoldás


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.


C. 1813. Mutassuk meg, hogy nincsenek olyan \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) pozitív egész számok, amelyekre

\(\displaystyle 3^{m}+3^{n}+1 \)

teljes négyzet.

amerikai versenyfeladat

(5 pont)

megoldás


C. 1814. Milyen arányban osztja két részre az \(\displaystyle r\) sugarú kör területét az az egyenes, amelynek a kör középpontjától való távolsága \(\displaystyle \dfrac{r}{\sqrt{2}}\)?

Ringler András (Budapest)

(5 pont)

megoldás


C. 1815. Oldjuk meg az

$$\begin{align*} x^2y-zu^2&=6,\\ x^2z+yu^2&=11 \end{align*}$$

egyenletrendszert, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle u\) természetes számok.

Katz Sándor (Bonyhád) ötlete alapján

(5 pont)

megoldás


C. 1816. Az \(\displaystyle a=14\), \(\displaystyle b=13\), \(\displaystyle c=15\) hosszúságú oldalakkal rendelkező háromszög oldalai érintik az \(\displaystyle R=5\) sugarú gömböt. Határozzuk meg a gömb középpontja és a háromszög síkja közötti távolságot.

horvát versenyfeladat

(5 pont)

megoldás


C. 1817. Elkezdtünk egy pénzérmét dobálni. A dobássorozat eredménye: egy fej, egy írás, egy fej, két írás, egy fej, három írás, egy fej és így tovább, azaz az írásokból álló megszakításmentes szériák hossza mindig 1-gyel növekszik, és azokat minden esetben egyetlen fej választja el egymástól. Ha ez a szabályosság megmarad, akkor hányadik dobás után hagyhatjuk abba a dobálást, hogy a fejek relatív gyakorisága pontosan \(\displaystyle \frac{1}{2023}\) legyen?

Barczy Mátyás, Nyul Gábor (Debrecen)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.


B. 5390. Léteznek-e olyan \(\displaystyle a_0\), \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{n-1}\) páros egész számok, amelyekre az \(\displaystyle x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\) polinom osztható az \(\displaystyle x^2+x+1\) polinommal?

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(3 pont)

megoldás


B. 5391. Az egységnyi \(\displaystyle AB\) átmérőjű körvonalon kijelölünk egy \(\displaystyle C\) pontot. Ezután az \(\displaystyle AB\) szakaszon felvesszük a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontokat úgy, hogy \(\displaystyle BD=BC\) és \(\displaystyle AE=AC\). Határozzuk meg \(\displaystyle AD^2+DE^2+EB^2\) lehetséges legkisebb értékét.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

megoldás


B. 5392. Tekintsünk egy olyan trapézt, amelynek területe egyenlő alapjainak szorzatával. Mutassuk meg, hogy ez a trapéz pontosan akkor érintőnégyszög, ha derékszögű.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

megoldás


B. 5393. Legyen az \(\displaystyle f\) olyan valós-valós függvény, amelyre

\(\displaystyle \left|f(x+y+z)+\sin\,x+\sin\,y+\sin\,z \right|\le 3, \quad \text{minden } x, y, z\in \mathbb{R} \text{ esetén}. \)

Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle |f(x)-\sin x|\le 1\) minden \(\displaystyle x\in \mathbb{R}\) esetén.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

megoldás


B. 5394. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet középpontja \(\displaystyle O\), körülírt körének egy tetszőleges pontja \(\displaystyle X\). Jelölje \(\displaystyle T\) az \(\displaystyle X\) merőleges vetületét \(\displaystyle BC\)-n. Legyen az \(\displaystyle XB\) és \(\displaystyle AC\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle E\), az \(\displaystyle XC\) és \(\displaystyle BD\) egyeneseké pedig \(\displaystyle F\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle EF\) merőleges \(\displaystyle TO\)-ra.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(4 pont)

megoldás


B. 5395. Jelölje egy \(\displaystyle k\) pozitív egész pozitív osztóinak számát \(\displaystyle d(k)\), továbbá legyen \(\displaystyle 1<n\) egész szám. Melyik összeg a nagyobb, \(\displaystyle d(2)+d(4)+\dots+d(2n)\) vagy \(\displaystyle (d(1)+d(3)+\dots+d(2n-1))+(d(1)+d(2)+\dots+d(n))\)?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(5 pont)

megoldás


B. 5396. Egy egyenlő oldalú térbeli (torz) ötszögnek négy derékszöge van. Mekkora lehet az ötödik szöge?

Javasolta: Dombi Péter (Pécs)

(6 pont)

megoldás


B. 5397. Egy gráfra (amely többszörös éleket is tartalmazhat) teljesül, hogy akárhogyan osztjuk szét a csúcsait \(\displaystyle t\) darab diszjunkt halmazba, legalább \(\displaystyle 2t-2\) él különböző halmazok között vezet. Bizonyítsuk be, hogy a gráf éleit ki lehet színezni pirosra vagy kékre úgy, hogy a kék és a piros élek is összefüggő (és minden csúcsot elérő) gráfot alkossanak.

Javasolta: Williams Kada (Cambridge, UK)

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.


A. 881. Egy királlyal bejárjuk egy (a szokásos módon színezett) \(\displaystyle n \times n\)-es sakktábla minden mezőjét pontosan egyszer. Határozzuk meg, hogy legkevesebb hányszor kellett színt váltanunk a séta során.

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)

(7 pont)

megoldás


A. 882. Legyen \(\displaystyle H_1\), \(\displaystyle H_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle H_m\) a pozitív egész számok nemüres részhalmazai, legyen továbbá \(\displaystyle S\) ezen halmazok uniója. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sum_{i=1}^m \sum_{a, b\in H_i} (a,b) \ge \frac{1}{m} \sum_{a, b\in S} (a, b), \)

ahol \(\displaystyle (a,b)\) az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) legnagyobb közös osztóját jelöli.

(A \(\displaystyle \sum_{(a,b)\in X}\) azt jelöli, hogy a szumma az olyan \(\displaystyle (a, b)\) rendezett párokon fut végig, amikre \(\displaystyle a\in X\) és \(\displaystyle b\in X\).)

Javasolta: Matolcsi Dávid (Berkeley)

(7 pont)

megoldás


A. 883. Legyenek \(\displaystyle J \subsetneq I \subseteq \mathbb{R}\) nemüres nyílt intervallumok, és legyenek \(\displaystyle f_1\), \(\displaystyle f_2\), \(\displaystyle \ldots\) olyan valós együtthatós polinomok, amelyekre a következők teljesülnek:

  • \(\displaystyle f_i(x) \geq 0\) minden \(\displaystyle i \geq 1\) és \(\displaystyle x \in I\) esetén,
  • \(\displaystyle \sum_{i=1}^\infty f_i(x)\) véges minden \(\displaystyle x \in I\) esetén,
  • \(\displaystyle \sum_{i=1}^\infty f_i(x)=1\) minden \(\displaystyle x \in J\) esetén.

Következik-e ezekből, hogy \(\displaystyle \sum_{i=1}^\infty f_i(x)=1\) minden \(\displaystyle x \in I\) esetén is?

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

megoldás


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)