 |
A C. 1815. feladat (2024. május) |
C. 1815. Oldjuk meg az
$$\begin{align*} x^2y-zu^2&=6,\\ x^2z+yu^2&=11 \end{align*}$$egyenletrendszert, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle u\) természetes számok.
Katz Sándor (Bonyhád) ötlete alapján
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Emeljük négyzetre az egyenletek mindkét oldalát:
\(\displaystyle x^4y^2-2x^2yzu^2+z^2u^4=36,\)
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle x^4z^2+2x^2zyu^2+y^2u^4=121.\) |
Az (1) egyenletrendszer megfelelő oldalainak összeadásával és kiemeléssel először azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x^4\cdot(y^2+z^2)+u^4\cdot(y^2+z^2)=157\), innen pedig \(\displaystyle y^2+z^2\) kiemelésével
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle (x^4+u^4)\cdot(y^2+z^2)=157.\) |
Mivel (2) jobb oldala pozitív, ezért a bal oldal mindkét zárójeles tényezője is pozitív.
A \(\displaystyle 157\) továbbá prímszám, ezért a bal oldal egyik zárójeles kifejezésének értéke \(\displaystyle 1\), a másiké pedig \(\displaystyle 157\).
A \(\displaystyle 157\) nem állítható elő két természetes szám negyedik hatványának összegeként, hiszen ha \(\displaystyle x^4=1\), akkor \(\displaystyle u^4=156\), de \(\displaystyle 156\) nem negyedik hatvány; ha \(\displaystyle x^4=16\), akkor \(\displaystyle u^4=141\), de \(\displaystyle 141\) sem negyedik hatvány; ha pedig \(\displaystyle x^4=81\), akkor \(\displaystyle u^4=76\), viszont \(\displaystyle 76\) sem negyedik hatvány.
Végül pedig az \(\displaystyle x=4\)-re adódó \(\displaystyle x^4=256\) már nyilván nem fordulhat elő, hiszen ekkor \(\displaystyle u^4<0\).
Mindezek alapján csak
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle x^4+u^4=1,\) |
és
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle y^2+z^2=157\) |
lehetséges.
A (3) egyenlet csakis úgy állhat fenn, ha \(\displaystyle x^4=1\) és \(\displaystyle u^4=0\), vagy \(\displaystyle x^4=0\) és \(\displaystyle u^4=1\).
Eszerint \(\displaystyle x=1; u=0\), vagy \(\displaystyle x=0; u=1\) lehetséges.
Egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy a (4) egyenlet csakis úgy teljesülhet, vagyis \(\displaystyle 157\) csak úgy állítható elő két négyzetszám összegeként, ha \(\displaystyle y^2=36; z^2=121\), vagy \(\displaystyle y^2=121; z^2=36\), ezért csakis \(\displaystyle y=6; z=11\) vagy \(\displaystyle y=11; z=6\) állhat fenn.
Ezért a lehetséges megoldások a következők:
\(\displaystyle x=1; y=6; z=11, u=0,\)
\(\displaystyle x=1; y=11; z=6, u=0,\)
\(\displaystyle x=0; y=6; z=11, u=1,\)
vagy
\(\displaystyle x=0; y=11; z=6, u=1.\)
A megoldás során a négyzetreemeléssel az egyenletrendszer megoldásainak halmazát csak bővíthettük. Ezért behelyettesítéssel ellenőrzést végezve azt kapjuk, hogy a négy megoldás közül csak az \(\displaystyle x=1; y=6; z=11, u=0\) természetes számokból álló számnégyes elégíti ki az eredeti egyenletrendszer mindkét egyenletét, ez a feladat egyetlen megoldása.
Statisztika:
A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai