KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 7-8 osztály

1. feladat. Hárman a következ?képpen osztoznak egy bizonyos összegen: András el?ször kap 900 forintot, majd a maradék \frac15-öd részét. Ezután Béla és Emil a megmaradt pénzb?l fele-fele arányban részesednek, és megállapítják, hogy mindenki ugyanannyi pénzt kapott. Összesen hány forinton osztoztak?
  (A) 3600
  (B) 3900
  (C) 4200
  (D) 5400
  (E) 6300

Helyes válasz: D

Indoklás: Jelölje n a kérdéses összeget. Ekkor András 900+\frac{n-900}{5} forintot kapott, ami egyenl? a maradék felével, hiszen a feltételek szerint ugyanannyit kaptak. Ezek szerint fennáll a következ? egyenl?ség:

900+\frac{n-900}{5} = \frac{n - (900+\frac{n-900}{5})}{2}.

Ezt kicsit átalakítva

900 + \frac15 (n-900) = \frac{\frac45 \cdot (n-900)}{2}

900= \frac15 \cdot (n-900)

4500=n-900,

azaz n=5400.


2. feladat. Egy konvex sokszög átlói számának és oldalai számának a szorzata 350. Mennyi a sokszög bels? szögeinek az összege?
  (A) 720 fok
  (B) 900 fok
  (C) 1080 fok
  (D) 1260 fok
  (E) 1440 fok

Helyes válasz: E

Indoklás: Legyen a sokszög oldalainak (így csúcsainak is) száma n. Mivel minden egyes csúcsból n-3 átló fut ki, és egy átlónak két csúcs a végpontja, így pontosan \frac{n(n-3)}{2} átlót tartalmaz a sokszög. Ezek szerint az átlók és oldalak számának szorzata n \cdot \frac{n \cdot (n-3)}{2}, és ez egyenl? 350-nel. Azaz n2.(n-3)=700, ami n=10 esetén teljesül. Tehát egy konvex 10-szöget kaptunk, aminek a bels? szögösszege a szögek számának a szorzata 180 fokkal, majd abból kivonva a küls? szögek összegét, ami minden esetben 360 fok, azaz

10.180-360=1440.


3. feladat. Egy 10 000 méteres síkfutás résztvev?i A, B és C. Mindannyian állandó sebességgel futják le a távot, és tudjuk róluk, hogy A célba jutásának idejében B-nek még 400 méter, C-nek pedig még 880 méter volt hátra. Vajon mennyire lesz a céltól C, amikor B befut a célba?
  (A) 280
  (B) 340
  (C) 390
  (D) 410
  (E) 500

Helyes válasz: E

Indoklás: B és C sebessége pontosan úgy aránylik egymáshoz, mint az általuk megtett út, hiszen állandó sebességgel haladtak. Ezek szerint (B sebessége legyen vB, C sebessége pedig vC) az arány

vB:vC=(10000-400):(10000-880)=9600:9120.

Így amíg B megteszi a maradék 400 métert, addig C a 400 méter \frac{v_C}{v_B}-szeresét futja le. Ez pedig 400 \cdot \frac{9120}{9600} = 400 \cdot 0,95 = 380. Tehát C a maradék 880 méterb?l B befutásáig 380-at tett meg, azaz még 500 méter van hátra.


4. feladat. Adott a síkon 5 pont, amelyek közül semelyik három nincs egy egyenesen, és semelyik négy nincs egy körön. Hány olyan kört rajzolhatunk, amely átmegy három-három ponton?
  (A) 5
  (B) 8
  (C) 10
  (D) 15
  (E) 16

Helyes válasz: C

Indoklás: Mivel semelyik három nincs egy egyenesen, ezért tetsz?leges három pontra illeszthet? kör. Továbbá a "semelyik négy nincs egy körön" kitétel miatt bármely három pontra pontosan egy kör rajzolható. Ezek szerint ahányféleképpen kiválszthatunk az 5-b?l egy ponthármast, annyi körünk lesz. Tehát számitsuk ki, hányféleképpen választhatunk ki 5 pontból 3-at! Ez ugyanazt jelenti, mintha 5-b?l 2-t kiválasztanánk, amit nem veszünk be. Ez pedig a következ?képpen számitható ki:

Számozzuk meg a pontokat 1-t?l 5-ig! Ha az 1-est választottuk, a másik hozzávehet? a 2, 3, 4 vagy 5 lesz. Ez eddig négy eset, amivel a szóbajöv? párok közül végeztünk azokkal, amik tartalmazzák az 1-est. Ugyanígy folytatjuk a 2-esre, amihez jöhet a 3, 4 vagy 5 és így tovább. Tehát az esetek száma 4+3+2+1=10.


5. feladat. Egy derékszögü háromszögben az oldalak hosszának szorzata kétszer nagyobb, mint a magasságok hosszának szorzata. Mekkorák lehetnek a háromszög hegyesszögei?
  (A) 20 és 70 fok
  (B) 25 és 65 fok
  (C) 30 és 60 fok
  (D) 40 és 50 fok
  (E) 45 és 45 fok

Helyes válasz: E

Indoklás: Legyen a háromszög két befogójának hossza a és b, az átfogóé pedig c. Továbbá az ezekhez az oldalakhoz tartozó magasságok ma, mb, mc. Derékszögü háromszög lévén ma pont az a melletti befogó, és ugyanígy mb a b melletti befogó, azaz a=mb, b=ma. Így a feladatban leírt egyenl?ség a következ?:

a.b.c=2.a.b.mc,

így 2.mc=c, m_c= \frac{c}{2}. Mivel egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának fele a háromszög területe, ez a szorzat állandó, bármelyik oldalt is nézzük. Tehát a.ma=c.mc, amit úgy is írhatunk, hogy a \cdot b = c \cdot \frac{c}{2}. Válasszuk c-t kett?nek (ezt megtehetjük, hiszen végtelen sok ilyen háromszög létezik, és ez az egy már meghatározza a többi oldalt a feltételek figyelembevételével), azaz a \cdot b = 2 \cdot \frac22 = 2, igy b = \frac2a.

Az el?z?ek alapján a Pitagorasz-tételt felhasználva

a^2 + ( \frac{2}{a} )^2 = 2^2,

átrendezve

a4-4a2+4=0.

Ez pedig szorzattá alakítható (a2-2)2 alakban, tehát a2=2, azaz a= \sqrt{2}. Ekkor b= \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}. Ezzel azt kaptuk, hogy a=b, azaz a derékszög? háromszögünk egyenl? szárú, így hegyesszögei 45 fokosak.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley