KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 7-8 osztály

1. feladat. Mennyi id?re van szükségünk másodpercre kerekítve, ha 1-t?l 117639-ig le szeretnénk írni a pozitív egész számokat, és percenként pontosan 93 számjegyet tudunk leírni?
  (A) 4 nap 10 óra 34 perc 56 másodperc
  (B) 4 nap 13 óra 53 perc 28 másodperc
  (C) 4 nap 22 óra 5 perc 19 másodperc
  (D) 4 nap 23 óra 50 perc 2 másodperc
  (E) 5 nap 2 óra 36 perc 25 másodperc

Helyes válasz: A

Indoklás: Legel?ször állapítsuk meg, hogy összesen hány darab számjegyet kell leírnunk:

1-9-ig: 9.1=9

10-99-ig: 90.2=180

100-999-ig: 900.3=2700

1000-9999-ig: 9000.4=36000

10000-99999-ig: 90000.5=450000

100000-117639-ig 17640.6=105840.

Tehát ez összesen 594729 számjegyet jelent. A feladat szerint pedig percenként 93 számjegyet írunk, azaz \frac{594 729}{93} percre van szükség. Ez átváltva 4 nap 10 óra 34 perc 56 másodperc.


2. feladat. Egy háromjegy? számot 7-tel szorozva, a szorzatban az ezresek után 638 áll. Mennyi ezen háromjegy? szám számjegyeinek szorzata?
  (A) 6
  (B) 16
  (C) 20
  (D) 24
  (E) 42

Helyes válasz: D

Indoklás: A keresett N számban az egyesek helyén biztosan 4 áll, hiszen csak ebb?l lesz 8 az egyesek helyén, ha 7-tel szorzunk. 7N-ben a tízesek helyén 3 áll, amiben benne van a 28 két tízese. Tehát N tízes helyiértékén lév? számot héttel szorozva egy 3-2=1-re végz?d? számot kapunk, és csak a 3 ilyen tulajdonságú számjegy.

Végül 7N-ben a százasok helyiértékén 6 áll, amiben benne van 7.3=21 két százasa. Tehát N százas helyiértékén lév? számot héttel szorozva egy 6-2=4-re végz?d? számot kapunk, csak a 2 megfelel? számjegy.

Ezzel az N=234 háromjegy? számhoz jutottunk, amiben a számjegyek szorzata 24.


3. feladat. Néhány traktornak, melyek mindegyike napi 15 hektár földet képes felszántani, együttesen bizonyos egész számú napra van szüksége, hogy megm?veljen egy 300 hektáros területet. Tudjuk, hogy ha még néhány traktort használatba vennének, akkor 6 nappal el?bb be tudnák fejezni a munkát. Pontosan hány traktorra lenne szükség?
  (A) 1
  (B) 2
  (C) 3
  (D) 4
  (E) 6

Helyes válasz: C

Indoklás: I. megoldás: Egy traktornak 300/15=20 napra lenne szüksége. Ezért 2 traktor 10, 4 traktor 5, 5 traktor 4, 10 traktor 2, végül 20 traktor 1 nap alatt végezne a munkával, és más lehet?ség nincs, hiszen ha egész számú nap alatt végeznek, akkor csak a 20 osztói jönnek számításba.

A 20, 10, 5, 4, 2 és 1 közül csak a 4 és a 10 különbsége 6, tehát eredetileg 2 traktor volt, kés?bb 5, vagyis 3 traktorra lenne szükség.

II. megoldás: Legyen k darab traktorunk kezdetben, ezekhez még l darabot hozunk, továbbá a k traktornak n napra van szüksége a 300 hektár megm?veléséhez, ahol n egész szám. Ezekb?l felírhatóak a következ? egyenl?ségek egy traktor napi kapacitásának - ami 15 hektár - ismeretében:

k.15.n=300

és

(k+l).15.(n-6)=300.

Osszuk el mindkét egyenlet mindkét oldalát 15-tel, ekkor egyrészt k.n=20, másrészt (k+l)(n-6)=20, azaz n és n-6 osztói a 20-nak. Könny? látni, hogy ez csak n=10 esetén lehetséges, ekkor pedig k = \frac{20}{10} = 2, továbbá k+l=2+l=\frac{20}{10-6}=5. Tehát l=3, azaz 3 traktorra lenne még szükség.


4. feladat. Leírtuk egymás mellé sorban a négyzetszámokat: 149162536
\ldots. Vajon milyen számjegy kerül a 251. helyre?
  (A) 0
  (B) 4
  (C) 6
  (D) 7
  (E) 9

Helyes válasz: B

Indoklás: El?ször vizsgáljuk, hogy adott jegy? négyzetszámokból mennyi létezik:

1-jegy?: 12,22,32, azaz 3 db;

2-jegy?: 4^2, 5^2, \ldots, 9^2, azaz 9-3=6 darab;

3-jegy?: 10^2, 11^2, \ldots, 31^2, azaz 31-9=22 darab;

4-jegy?: 32^2, 33^2, \ldots, 99^2, azaz 99-31=68 darab.

Most írjuk le egymás után a feladat szerint a legfeljebb háromjegy?eket. Ekkor 3.1+6.2+22.3=81 jegyet írtunk le, tehát még kell 251-81=170 számjegy, és könnyen látható, hogy a 251. helyen egy négyjegy? négyzetszám jegye áll. Mivel 170-ben a 4 megvan 42-szer és a maradék 2, így leírjuk az els? 42 darab négyjegy? négyzetszámot, majd a 43.-nak a második számjegye lesz a keresett 251. számjegy. A 43. négyjegy? négyzetszám pedig a 31+43 négyzete, azaz 742=5476. Tehát a keresett számjegy a 4.


5. feladat. Adott egy berendezés, mely 100 világító gombból áll, méghozzá 10×10-es alakzatban. Ha megnyomunk egyet közülük, az ? sorában, illetve oszlopában lév? gombok ellentettjükre váltanak, azaz az addig világítók kialszanak, a nem világítók kigyulladnak. Legalább hány gombnyomásra van szükség ahhoz, hogy az összeset felkapcsoljuk, ha eredetileg mind a 100 ki volt kapcsolva?
  (A) 10
  (B) 25
  (C) 50
  (D) 70
  (E) 100

Helyes válasz: E

Indoklás: Megmutatjuk, hogy az összes 100 gomb megnyomása szükséges. Ugyanis tegyük fel, hogy az egyiket nem nyomtuk meg, ezt jelöljük A-val. Az ? sorában lév? többi gomb legyen B, az oszlopában rajta kívüliek pedig C, továbbá az összes többi, ami ezek közé nem tartozik, legyen a D halmazban. Ahhoz, hogy A kigyulladjon, a B- és C-belieket összesen páratlan sokszor kell megnyomni. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a B-ben történt páratlan, C-ben pedig páros számú kapcsolás. Így bármely B-beli gomb oszlopában páros sok D-belit nyomtunk, azaz a D-beli kapcsolások száma páros. Viszont hasonló gondolatmenettel minden C-beli gomb sorában páratlan sok D-belit nyomhattunk csak meg, azaz a D-beli kapcsolások száma páratlan. Ez pedig nyilvánvaló ellentmondás.

A 100 gomb megnyomásával pedig valóban minden gomb égni fog, hiszen minden gomb sorában és oszlopában (önmagát beleértve) összesen 19, vagyis páratlan sok gomb van.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley