KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Hány olyan ötjegy? szám létezik, amelyet elosztva a középs? jegy elhagyásával kapott négyjegy? számmal, egész számot kapunk?
  (A) 25
  (B) 64
  (C) 90
  (D) 126
  (E) 131

Helyes válasz: C

Indoklás: Jelölje az ötjegy? számot A, a bel?le a középs? jegy elhagyásával kapott négyjegy? számot pedig B. Olyan számot keresünk, amelyre A többszöröse B-nek. Mivel B többszöröseinek a különbsége is osztható B-vel, így A-10B is többszöröse B-nek. Látható, hogy A és 10B ugyanazzal a két számjeggyel kezd?dik, a különbségük így legfeljebb háromjegy?. Ez azonban csak úgy lehet többszöröse a négyjegy? B számnak, ha értéke 0. Ha tehát A osztható B-vel, akkor A=10B.

Tudjuk, hogy A és B utolsó két számjegye megegyezik. Ezzel A=10B miatt B is 0-ra végz?dik, emiatt B tízszerese, azaz A százzal is osztható, de akkor ez B-re is igaz, tehát A osztható 1000-rel. Ez a feltétel már elégséges, ugyanis egy 1000-rel osztható ötjegy? számban a középs? jegy elhagyása 10-zel való osztást jelent.

A keresett számok tehát 1000 ötjegy? többszörösei, vagyis azok az öjegy? számok, amelyek 3 db 0-ra végz?dnek. Felsorolva: 10000,
11000, \ldots , 99000, ami 90 db számot jelent.


2. feladat. Hány olyan n természetes szám létezik, amelyre 28+211+2n egyenl? egy egész szám négyzetével?
  (A) 1
  (B) 4
  (C) 6
  (D) 9
  (E) 12

Helyes válasz: A

Indoklás: Az els? két tag összege négyzetszám, ugyanis 28+211=28(1+23)=28.9=482. Így ha k olyan egész, amelyre 28+211+2n=k2, akkor 2n=k2-482=(k-48)(k+48). Itt a jobb oldal két tagjának külön-külön 2-hatványnak kell lennie, azaz létezik p<q, amelyekre 2p=k-48 és 2q=k+48. Ezen két egyenletet felhasználva vonjuk ki a másodikból az els?t: 2q-2p=96, azaz 2p(2q-p-1)=25.3. Ismeretes, hogy egy tetsz?leges pozitív szám egyértelm?en írható fel egy páratlan szám és egy természetes kitev?j? 2-hatvány szorzataként. Mivel p<q, ezért 2q-p-1 páratlan, tehát most 2p=25 és 2q-p-1=3, azaz p=5 és q=7. Tehát 2n=2p2q=212, azaz a feladat megoldása egyértelm?, n=12. (Ekkor 28+211+212=802.)


3. feladat. Egy matematikaversenyen 30 feladat szerepel. Minden jól megoldott feladatért 4 pont jár, rossz megoldásért pedig 1 pont levonás. Ha egy feladattal valaki nem foglalkozik, akkor arra 0 pontot kap. Hányféle összpontszámot érhet el egy versenyz??
  (A) 145
  (B) 147
  (C) 148
  (D) 150
  (E) 151

Helyes válasz: A

Indoklás: Ha egy versenyz? k feladatot old meg helyesen, akkor attól függ?en, hogy a többi 30-k feladat közül hányat ront el, valamennyi pontszámot megszerezheti 4k-(30-k)=5k-30 és 4k között. Eggyel több jó feladattal 4k+4 pont érhet? el, és nyilván 4k+4 és 4k között sem marad ki pontszám, ha a megmaradó elrontható feladatok száma legalább 3. Ezek szerint a k=0 esetén adódó minimális -30 ponttól kezdve minden egész pontszám elérhet? 4k pontig, amíg 3\leq30-k, azaz k\leq27.

Ha k=28, akkor csak két feladat rontható el, így 27.4+1=109 pont nem érhet? el. Ha k=29, akkor két pontszám marad ki, 28.4+1=113 és 28.4+2=114. k=30 esetén pedig mindhárom pontszám kimarad, amely 29.4 és 30.4 közötti.

Tehát a -30 és 120 közötti 151-féle lehetséges számból 6 nem érhet? el, vagyis az összpontszám 145-féle lehet.


4. feladat. Egy dobozban néhány cédula található, mindegyiken egy-egy természetes számmal. Bárhogyan veszünk is ki három cédulát, ezek között van két olyan, hogy a rajtuk szerepl? számok összege osztható 5-tel. Legfeljebb hány cédulán lehet 5-tel nem osztható szám?
  (A) 2
  (B) 3
  (C) 4
  (D) 5
  (E) 6

Helyes válasz: C

Indoklás: Válogassuk szét a dobozban található 5-tel nem osztható számot tartalmazó cédulákat aszerint, hogy milyen maradékot adnak 5-tel osztva. Ugyanaz a maradék legfeljebb két cédulán lehet, mert ha három is m maradékot adna 5-tel osztva, akkor közülük bármely kett? összege ugyanannyit adna 5-tel osztva, mint 2m. Ez pedig nyilván nem osztható 5-tel, ha m sem osztható. Ezen túl ha van két azonos maradékot adó cédula, akkor azok mellé harmadiknak csak ?ket 5-tel osztható számra kiegészít? kerülhet. Tehát vagy mind a négy lehetséges maradék csak egyszer fordulhat el?, vagy csak kétféle maradék lehet, méghozzá mindegyik legfeljebb két cédulán. Mindkét esetben négy cédulán állhat 5-tel nem osztható szám. Mindkét eset el? is fordulhat: {1,2,3,4}, {1,1,4,4}.


5. feladat. Egy egyszintes lakásról a következ?ket tudjuk:

a) bármely két helyiség között legfeljebb egy ajtó van

b) bármely helyiségb?l legfeljebb 1 ajtó nyílik a lakáson kívülre

c) a lakásban 12 ajtó van

Legalább hány helyiség található a lakásban?
  (A) 4
  (B) 5
  (C) 6
  (D) 7
  (E) 8

Helyes válasz: B

Indoklás: Jelölje n a lakásban található helyiségek számát. Tegyük fel, hogy bármely két helyiség érintkezik és van közöttük ajtó, valamint minden helyiségb?l nyílik ajtó a lakáson kívülre. Ekkor \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} bels? ajtó van, kívülre pedig n nyílik. Ez összesen \frac{n(n-1)}{2} + n ajtót jelent, ami n=4 esetén 10, n=5-re pedig 15. Ezek szerint a lakásban legalább 5 helyiség található, hiszen az a) és b) feltétel 4 helyiség esetén nem éri el a c)-ben megkövetelt 12 ajtót.

Lássuk, hogy megoldható-e 5-tel! Az ábrákon két ilyen lakás alaprajzát is láthatjuk, ahol a tartományok a szobákat, a keresztbe húzott szakaszok pedig az ajtókat jelölik. Tehát legalább 5 helyiség található a lakásban.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley