KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Arthur király test?rei számára háromféle sportolási lehet?séget biztosít: úszást, sakkozást és teniszezést. A test?rökr?l a következ?ket tudjuk:

a) a teniszez?k közül pontosan azok úsznak, akik sakkoznak is,

b) nincs olyan sakkozó, aki se nem úszik, se nem teniszezik,

c) akik nem úsznak, de teniszeznek, azok sakkoznak is.

Melyek azok az állítások, amelyek biztosan igazak a következ?k közül?

a) minden sakkozó úszik,

b) minden úszó teniszezik,

c) minden teniszez? sakkozik.
  (A) a) és b)
  (B) a) és c)
  (C) b) és c)
  (D) a) és b) és c)
  (E) egyik sem

Helyes válasz: B

Indoklás: Az ábrán jelölje értelemszer?en pl. U az úszni tudó test?rök számát, U\overline{S} a nem sakkozó úszókét, \overline{U}S\overline{T} a nem úszó, nem teniszez? sakkozók számát stb. A test?rök felosztását ez az ábra szemlélteti. Az a) feltétel szerint U\overline{S}T = \overline{U}ST = 0. A b) feltétel szerint \overline{U}S\overline{T} = 0, a c) feltétel szerint \overline{U} \overline{S} T = 0. (Az ábrán a 0 elem? részeket satírozással jelöltük.) Most a rajzról könnyen leolvashatjuk, hogy minden sakkozó úszik, és minden teniszez? sakkozik, tehát az a) és a c) állítás biztosan igaz.

A b) állítás az adott feltételekb?l nem következik. S?t, könnyen látható módon lehet igaz és hamis is. Ugyanis ha U\overline{S}\overline{T} = U S \overline{T} = 0, akkor b) igaz, különben ha már csak az egyik is nem üres, akkor hamis.


2. feladat. Határozzuk meg a 999-cel osztható, 9-es számjegyet nem tartalmazó legkisebb pozitív egész szám százas helyiértékén álló számjegyét!
  (A) 2
  (B) 5
  (C) 6
  (D) 8
  (E) 9

Helyes válasz: D

Indoklás: Azt a legkisebb pozitív egész A számot keressük, amelyre a

B=999A=1000A-A

számban nincs 9-es számjegy. A B szám mindkét alakjából látható, hogy A utolsó jegye nem lehet 1, hiszen ekkor B utolsó jegye 9 volna. Nem lehet 0 sem A utolsó jegye, hiszen ekkor B tizedrésze is megfelel? volna. A B szám második alakjából látható, hogy emiatt A utolsó el?tti jegye sem lehet 0, hiszen ekkor az 1000A-A kivonást szokás szerint számjegyenként végezve A többi jegyét?l függetlenül B utolsó el?tti jegyére 9-est kapnánk. Ám ekkor A százas helyiérték? jegye sem lehet 0, mert akkor B-ben a százas helyiérték? számjegy volna 9-es. Ha tehát A-ban minden minden számjegyet a lehet? legkisebbnek választunk, a 112 számot kapjuk, ekkor B=111888 nem tartalmaz 9-est, tehát ez a keresett szám.


3. feladat. Hány rendezett valós (x,y,z) számhármas megoldása van az

x+y+z=11   ,   x2+2y2+3z2=66

egyenletrendszernek?
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 2
  (D) 10
  (E) végtelen sok

Helyes válasz: B

Indoklás: Vonjuk ki a második egyenletb?l az els? 12-szeresét, így a következ?t kapjuk: x2-12x+2y2-12y+3z2-12z=-66, amit átalakításokkal x2-12x+36+2y2-12y+18+3z2-12z+12=0 alakra hozhatunk. A bal oldalt tovább alakítva (x-6)2+2(y-3)2+3(z-2)2=0, ami csak úgy teljesülhet, ha x=6, y=3, z=2. Tehát csak a (6,3,2) számhármas elégíti ki az egyenletrendszert.


4. feladat. Egy körbe írt 12 oldalú konvex sokszög 6 oldalának a hossza egyenként \sqrt2 egység, a többi oldal hossza egyenként \sqrt{24} egység. Mekkora a kör sugara?
  (A) \approx5,747
  (B) \approx5,936
  (C) \approx6,164
  (D) \approx6,365
  (E) \approx7,056

Helyes válasz: C

Indoklás: Jelöljük a \sqrt2 hosszúságú oldalakhoz tartozó középponti szöget \alpha-val, a \sqrt{24} hosszúakhoz tartozót pedig \beta-val. Mivel a sokszög konvex, a kerületén körbejárva egy irányban egyszer kerüljük meg a kör középpontját, így 6\alpha+6\beta=360°, azaz \alpha+\beta=60°. Biztosan van a sokszögnek olyan csúcsa, amelyben egy \sqrt2 és egy \sqrt{24} nagyságú oldal csatlakozik egymáshoz, jelöljük ezek egyikét B-vel, a szomszédos csúcsok közül A legyen a \sqrt{2}, C a \sqrt{24} nagyságú oldal másik végpontja. A kör középpontját jelöljük O-val. Az ABCO négyszög A-nál, B-nél és C-nél lév? szögeinek összege 360°-60°=300°, és mivel az ABO és BCO háromszögek egyenl? szárúak,

OAB\angle=ABO\angle,   OBC\angle=BCO\angle,

tehát a négyszög B-nél lév? szöge egyenl? az A-nál és C-nél lév? szögek összegével:

ABC\angle=150°.

Legyen általában egy ABC háromszögben AB=c, BC=a és ABC\angle=150°. Jelöljük A-nak a BC egyenesen lév? vetületét D-vel, és A-nak D-re vonatkozó tükörképét E-vel. Az ABD háromszög derékszög? és ABD\angle=180°-150°=30°. Emiatt ABE szabályos háromszög és AD=\frac{c}{2}, BD=c\frac{\sqrt3}{2}. Az ACD derékszög? háromszögben Pythagorasz tétele szerint AC^2 = ( a+c\frac{\sqrt3}{2} )^2 + (\frac{c}{2})^2 = a^2 + c^2 + ac\sqrt3. Esetünkben a=\sqrt{24}, c=\sqrt2, tehát AC^2 = 24+2+\sqrt{24\cdot 2 \cdot3} = 38, AC=\sqrt{38} \approx 6,164.


5. feladat. Mennyi abban a legnagyobb egész számban a számjegyek összege, amely nem állítható el? 100 - nem feltétlenül különböz? - összetett szám összegeként? (Egy szám összetett, ha el?állítható két 1-nél nagyobb egész szám szorzataként.)
  (A) 7
  (B) 10
  (C) 11
  (D) 13
  (E) 19

Helyes válasz: A

Indoklás: A legkisebb összetett szám a 4, tehát egy 400-nál kisebb szám sem állítható el? 100 összetett szám összegeként. Ha n\geq400, az

(1)   n=99.4+(n-396)

el?állítás megfelel?, ha még az is teljesül, hogy (n-396) összetett szám. Ez mindig így van, ha n páros, viszont páratlan n-re (n-396) lehet prímszám is. (Ez a helyzet például n=401 és n=403 esetén.) Megmutatjuk, hogy a 403 a keresett szám.

A 403 nem állítható el? száz összetett szám összegeként, hiszen egy esetleges el?állításban páratlan számra is szükség van. A legkisebb páratlan összetett szám viszont a 9, és mivel a többi 99 szám összege legalább 99.4, így az összeg legalább 99.4+9=405 volna.

Be kell még látnunk, hogy ha n tetsz?leges 403-nál nagyobb egész, akkor el?állítható száz összetett szám összegeként. Ha n páros, akkor (1) megfelel? el?állítás. Ha n páratlan, egy megfelel? el?állítás például

n=98.4+9+(n-401),

hiszen itt (n-401) kett?nél nagyobb páros szám, tehát összetett.

Tehát a keresett szám a 403, amelyben a számjegyösszeg 7.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley