KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. C és D a következ? megállapodás alapján játszottak: 1) nyert játékért a vesztes annyi szem diót ad a nyertesnek, ahány diója annak éppen van, 2) döntetlen játék utáni megnyert játék értéke kétszer annyi dió, mint a 2-vel korábbi játéké. Az egymás utáni játszmák nyertese C,C,D volt, majd döntetlen lett a játszma: X, tovább pedig C,X,D,C,X,X,D volt az eredmény. Az utolsó játék után C nem volt hajlandó fizetni, mondván, hogy az utolsó el?tti második játék értéke 0 volt. Ezért D nem játszott tovább és megállapította, hogy ugyanannyi diója van, mint a játék el?tt volt. Hány diója volt D-nek, ha a játék során a legkisebb el?fordult nyeremény 20 szem dió volt?
  (A) 148 \frac13
  (B) 156
  (C) 162 \frac23
  (D) 166 \frac23
  (E) 170 \frac13

Helyes válasz: D

Indoklás: Ha a játék kezdetén C-nek x, D-nek y diója volt, akkor az egymás utáni játékok során a nyeremények, valamint az egyes játékosoknál lév? diók száma az alábbi táblázat szerint alakult:

Az utolsó három játszma során nem változott a játékosok diókészlete. Ezek szerint 7y-25x=y, 6y=25x, más szóval x:y=6:25, azaz x=6k, y=25k, ahol k pozitív szám. Így a nyereményeket k-val kifejezve kiválaszthatjuk az el?fordul legkisebb nyereményt (lásd a táblázat utolsó oszlopát). 3k=20-ból x=6k=40, y=25k = 166 \frac23.


2. feladat. Tekintsük azt a 81 pontot, amelyben a sakktáblát felosztó 9-9 egyenes egymást metszi és nevezzük ?ket hálózati pontoknak. Hány olyan négyzet van, amelynek mind a négy csúcsa hálózati pont?
  (A) 470
  (B) 540
  (C) 600
  (D) 640
  (E) 720

Helyes válasz: B

Indoklás: Egy, a feltételnek megfelel? négyzet csúcsai lehetnek párhuzamosak a sakktábla oldalaival. Ha nem ilyenek, a csúcsain át a tábla oldalaival párhuzamos egyeneseket húzva befoglalhatjuk egy a tábla oldalaival párhuzamos oldalú négyzetbe - nevezzük az ilyeneket alapnégyzeteknek - úgy, hogy az el?bbi csúcsai az alapnégyzet oldalain vannak. Megszámoljuk egyrészt az egy alapnégyzetbe a mondott módon beírható négyzeteket, másrészt a táblán elhelyezhet? alapnégyzeteket.

Egy alapnégyzetbe annyi négyzetet írhatunk be, ahány bels? hálózati pont van a négyzet egy oldalszakaszán. Számítsuk ehhez hozzá magát az alapnégyzetet is, így összesen annyi négyzetet kapunk, ahány egységnyi az alapnégyzet oldala. Egységnek a sakktábla egy mezejének oldalát választva (ugyanis az oldal minden egységnyi szakaszához a kezd?pontjából kiindulva rajzolható négyzet, az els?höz tehát magát az alapnégyzetet párosítjuk hozzá).

Nézzük most meg, hol helyezkedhet el egy c egységnyi oldalú alapnégyzet bal alsó csúcsa. Ez nyilván lehet a tábla bal oldalán, vagy az onnan számított legfeljebb 8-c-edik hálózati egyenesen. (Ha pl. c=6, akkor a bal alsó csúcs a tábla bal szélét?l 0,1, vagy 2 egység távolságra lehet.) Hasonlóan a kérdéses csúcs a tábla alsó oldalától legfeljebb 8-c egység távolságban lehet. Ez a csúcs tehát a tábla bal alsó sarkában elhelyezked? 8-c oldalú alapnégyzet valamelyik hálózati pontja lehet. Ennek a négyzetnek minden oldalán 8-c+1=9-c hálózati pont van, a négyzet tehát (9-c)2 hálózati pontot tartalmaz. Ugyanennyiféleképpen helyezhet? el egy c egységnyi oldalú alapnégyzet a sakktáblán úgy, hogy a csúcsai hálózati pontok legyenek. (pl. c=6 esetén (9-6)2=9-féleképpen.)

Mindegyikbe c-féleképpen írható be négyzet (közéjük számítva az alapnégyzetet is), így összesen (9-c)2c számú olyan négyzetet kapunk, amelyik c oldalú négyzetbe van írva. Ezt c=1,2, \ldots , 8-ra összeadva kapjuk a keresett négyzetek számát, ami 8^2 + 7^2 \cdot 2 + \ldots + 2^2 \cdot 7 + 8 = 540.


3. feladat. Válasszunk ki egy kocka csúcsai közül az összes lehetséges módon hármat, és tekintsük a csúcsok által meghatározott háromszögeket. Mekkora az így kapott derékszög? háromszögek számának és az így kapott összes háromszög számának aránya?
  (A) \frac23
  (B) \frac34
  (C) \frac67
  (D) \frac78
  (E) \frac{11}{12}

Helyes válasz: C

Indoklás: Tekintsük az alábbi ábrát:

Megfigyelhet?, hogy ha egy háromszög nem derékszög?, akkor annak minden oldala a kocka egy-egy lapátlója (vagyis az ilyen háromszögek szabályosak). Mivel minden csúcsból három lapátló indul, így minden csúcshoz 3 ilyen háromszög tartozik (az A csúcshoz például az ACH, ACF és AFH háromszögek). Minden háromszöget megszámolunk mindhárom csúcsánál, a nem derékszög? háromszögek száma tehát \frac{8\times3}3=8. Az összes háromszög száma pedig \frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56. Így a derékszög? háromszögek száma 56-8=48, a keresett arány pedig \frac{48}{56}=\frac67.


4. feladat. Hány olyan egész számokból álló rendezett (x;y) számpár van, amelyre \frac1x+\frac1y=\frac1{2011} teljesül?
  (A) 0
  (B) 2
  (C) 5
  (D) 6
  (E) az el?z?ek egyike sem

Helyes válasz: C

Indoklás: Az egyenlet alapján x\neq0 és y\neq0. Mivel \frac1{2011}=\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}, így y=\frac{2011x}{x-2011} (látható, hogy x=2011 egyébként se jó megoldás). Ezt tovább rendezve y=\frac{2011(x-2011)+2011^2}{x-2011}, azaz y=2011+\frac{2011^2}{x-2011}, ahonnan (x-2011)(y-2011)=20112 adódik. Mivel a 2011 prím, így 20112 pozitív osztóinak száma 3. Tehát az x-2011 tényez? lehetséges pozitív értékei 1, 2011 és 20112, vagyis x-2011>0 esetén 3 megoldás van. Ha x-2011<0, akkor nem megfelel? a (-2011)(-2011) szorzat, mert ekkor x=y=0 adódna. Itt tehát csak 2 megoldás van. Így összesen 5 megoldása van az eredeti egyenletnek.


5. feladat. Egy 4×4 mez?s sakktáblát dominókövekkel fedünk le hézagtalanul és átfedés nélkül (egyréteg?en). Mindegyik dominók? két szomszédos mez?t takar le. Hányféleképpen lehetséges a lefedés?
  (A) 8
  (B) 9
  (C) 10
  (D) 11
  (E) 12

Helyes válasz: B

Indoklás: Nevezzük a dominók tengelyének a hosszabb középvonalukat. Tekintsük el?ször a tábla négy sarokmezejét lefed? négy dominókövet. Lehet, hogy mindegyik tengelye azonos irányú. ekkor egy 90°-os elforgatással - ha szükséges - elérhetjük, hogy vízszintes legyen. Lehet, hogy három k?nek a tengelye párhuzamos - feltehetjük, hogy vízszintes -, a negyediké rájuk mer?leges. A középvonalakra való tükrözéssel - ha kell - elérhet?, hogy a jobb fels? sarokmez?t fedje függ?leges tengely? dominó. Végül lehet, hogy mindkét iránnyal két dominó tengelye párhuzamos, az utóbbi esetben a párhuzamos tengely? dominók vagy oldal mentén szomszédosak, vagy egy átló végein álló sarokmez?k lefedésében vesznek részt. Ekkor is feltehet?, hogy a bal fels? sarokmez?t vízszintes dominó fedi. (1. ábra)

A D rakásmód mellett a további mez?k csak úgy fedhet?k le, hogy a három oldalról körülfogott széls? mez?ket és a szomszédos középs? mez?t fedje egy-egy dominó (szaggatott vonalak). A B és C rakásmódot folytatva csupán két dominók? elhelyezése egyértelm?, a hátralév? 2×2-es mez? kétféleképpen fedhet? le. Az A rakásmód mellett a még fedetlen részben fedheti mind a két fels? sarokmez?t vízszintes dominó, vagy az egyiket - pl. a bal oldalit - vízszintes, a másikat függ?leges, vagy mind a kett?t függ?leges dominó (2. ábra E,F,G) Az els? kett? egyértelm?en befejez?dik, a harmadik ismét két lehet?séget ad. Bennük a fedetlen 4 mez? kétféle lefedése egymásba 90°-os forgatással átvihet?, de ez a forgatás a tábla szélén álló mez?k lefedési ábráját nem önmagába viszi át, tehát a két lefedés nem azonos.

Ezek szerint a lefedés 9-féleképpen lehetséges, nyilvánvaló jelöléssel a következ? módokon: AE,AF,AGv,AGf,Bv,Bf,Cv,Cf,D.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley