KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. A 3 és 4 egység befogójú derékszög? háromszögnek megrajzoltuk a körülírt körét. Mekkora annak a körnek a sugara, amely érinti a háromszög befogóit, és a körülírt kört belülr?l?
  (A) \approx1,8
  (B) \approx1,9
  (C) 2
  (D) 2,2
  (E) \approx2,3

Helyes válasz: C

Indoklás: Rajzoljuk meg az ABC derékszög? háromszöget, melyben a befogók AC=3 és BC=4 egység hosszúak. Állítjuk, hogy a keresett kör sugara 2 egység. Ennek bizonyításához nyilván elegend? megmutatni, hogy az a 2 egység sugarú kör, ami érinti az AC és BC oldalakat, egyúttal érinti az ABC háromszög körülírt körét is. A körülírt kör középpontja az AB oldal F felez?pontja, sugara pedig

\frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{AC^2 + BC^2}}{2} = 2,5

egység. k akkor és csak akkor érinti belülr?l a körülírt kört, ha a két kör középpontjának távolsága 2,5-2=0,5 egység. Mivel k érinti AC-t és BC-t is, ezért az O középpont mindkett?t?l 2 távolságra van. Következésképp O rajta van BC-nek OD felez?mer?legesén, és OD=2. Az F pont, mint az ABC háromszög körülírt körének középpontja szintén rajta van OD-n, és FD = \frac{AC}{2} = 1,5, mert FD középvonal az ABC háromszögben. Következésképp

OF=OD-FD=2-1,5=0,5

és ezt akartuk bizonyítani.


2. feladat. Néhány pozitív egész szám összege 65. Legfeljebb mennyi lehet a szorzatuk, ha tudjuk, hogy a szorzat osztható 100-zal?
  (A) 12 376 085 100
  (B) 12 914 016 300
  (C) 13 624 810 500
  (D) 13 818 002 100
  (E) 14 466 710 200

Helyes válasz: B

Indoklás: Bontsuk fel az összes lehetséges módon pozitív egész számok összegére a 65-öt. Mindegyik esetben szorozzuk össze az összeadandókat, majd a szorzatuk közül válasszuk ki a legnagyobb, 100-zal oszthatót (vagy az egyik legnagyobbat, ha ugyanaz többször is el?fordulna). Tegyük fel, hogy ezt a maximumot az x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 65 felbontásból kapjuk. Mivel 2+2=2.2=4, ezért a felbontásból minden 4-est két darab kettesre kicserélhetünk anélkül, hogy az összeg és a szorzat változna, így azt is feltehetjük, hogy itt a 4 nem fordul el?. Az {xi} számok között nem szerepelhet 14-nél nagyobb. Valóban, ha például xn>14 volna, xn-et helyettesítsük a 2,2,5,5,xn-14 számokkal. Az összeg nem változott, míg a szorzat xn<2.2.5.5.(xn-14) miatt n?tt, és továbbra is osztható százzal. Ez pedig lehetetlen, hiszen feltettük, hogy az x_1 , \ldots, x_n felbontás adja a legnagyobb szorzatot. Továbbá a számok között nem szerepelhet 10 sem, amit az el?z?höz hasonlóan láthatunk be. Ha a 10 mégis ott volna, azt a 2,3,5 számokkal helyettesítve az összeg változatlan, a szorzat pedig a háromszorosára n?, ami lehetetlen.

Az x_1 \cdot \ldots \cdot x_n osztható 100-zal, az {xi} számok között nincs 10 és nincs 14-nél nagyobb. Kell tehát közöttük lennie két ötösnek, mondjuk x1=x2=5. A megmaradt számok között viszont nem lehet 4-nél nagyobb. Ugyanis ha xn>4 volna, xn-t 2-vel és xn-2-vel helyettesítve az 5 \cdot 5 \cdot x_3 \cdot \ldots \cdot x_{n-1} \cdot 2(x_n - 2) szorzat továbbra is osztható 100-zal, viszont nagyobb mint az x_1, \ldots, x_n számok szorzata. Feltételünk szerint a felbontásban a 4 sem fordul el?, így csak az 1, 2 és 3 jöhet szóba.

A kettesb?l legalább 2 van, ami a 100-zal való oszthatósághoz kell, de öt vagy annál több nem lehet, mert három darab kettest két hármassal helyettesítve a szorzat n?. Egyesb?l is legfeljebb 1 lehet, és 5+5+2+2+2+2+1=19<65 miatt a felbontásban 3 is szerepel. De ekkor egy hármast és az egyest két kettesre cserélve a szorzat megint n?ne, következésképpen az {xi} számok között nincs 1-es.

Összefoglalva, az x_3, x_4, \ldots, x_n számok között legalább kett?, de legfeljebb négy darab 2-es van, a többi hármas és 5+5+ x_3 + \ldots + x_n = 65. Ez csak úgy lehet, hogy a felbontásban két kettes és 17 hármas van, és ekkor a szorzat, ami egyúttal a maximumot is megadja: 52.22.317=12 914 016 300.


3. feladat. János és Gábor a következ? játékot játsszák: János kihúz egy 32 lapos magyar kártya csomagból egy lapot. Gábornak a kihúzott lap színét kell megtippelnie. Ha eltalálja, nyer Jánostól 2 Ft-ot, ha nem, ad neki 1 Ft-ot. Miel?tt tippelne, megnevezhet négy lapot, és Jánosnak meg kell mondania, hogy a kihúzott lap köztük van-e. Megfelel? stratégiával Gábor legfeljebb mekkora nyereményt érhet el várható értékben játszmánként?
  (A) \frac{2}{9} Ft
  (B) \frac{1}{16} Ft
  (C) 0 Ft
  (D) \frac{1}{8} Ft
  (E) \frac{2}{7} Ft

Helyes válasz: D

Indoklás: Akármilyen 4 lapot nevez is meg Gábor, \frac{4}{32} = \frac18 annak az esélye, hogy a kihúzott lap köztük van, és \frac78 annak a valószín?sége, hogy nincs köztük. A játékot ezen észrevétel alapján két részre bonthatjuk.

1. A kihúzott lap a Gábor által megnevezett lapok között van. Ha Gábor négy egyszín? lapot nevezett meg, akkor tudja a lap színét, tehát biztosan nyer 2 Ft-ot. Ha nem négy egyszín? lapot nevezett meg, akkor nem tudhatja biztosan a kihúzott lap színét, így nyereményének várható értéke kisebb 2 Ft-nál.

2. A kihúzott lap nincs a megnevezett lapok között, tehát a többi 28 lap között van. Ekkor Gábornak olyan színre érdemes tippelnie, amelyb?l a maradó 28 között a lehet? legtöbb van. Egy színb?l legfeljebb 8 lap van, ezért Gábor legfeljebb \frac{8}{28} = \frac27 valószín?séggel találja el a kihúzott lap színét, \frac57 valószín?séggel nem talál. Várható nyereménye tehát legfeljebb \frac27 \cdot 2 - \frac57 \cdot 1 = -\frac17 Ft.

Az els? eset valószín?sége \frac18, a másodiké \frac78, Gábor várható nyereménye tehát legfeljebb \frac18 \cdot 2 + \frac78 \cdot (-\frac17) = \frac18 Ft. Ha Gábor négy egyszín?, pl. piros lapot nevez meg, majd pirosat tippel, ha igen, és pl. zöldet, ha nem választ kapott, akkor mindkét esetben a lehet? legjobban jár. Minden más választással vagy az 1. esetben, vagy a 2. esetben, vagy mindkétszer rosszabbul jár.


4. feladat. Van négy pont a síkon. Bármely kett? távolsága legfeljebb 1. Mekkora lehet legfeljebb a négy pont között fellép? hat távolság négyzetösszege?
  (A) 4,5
  (B) \approx4,6
  (C) \approx4,8
  (D) 5
  (E) \approx5,14

Helyes válasz: D

Indoklás: Ha a négy pont közül kett? egybeesik, ezek távolsága nulla, a többi 5 távolság legfeljebb 1, így a hat távolság négyzetösszege legfeljebb 5. Az 5 el is érhet?, ha három pont szabályos egységnyi oldalú háromszöget alkot, és a negyedik egybeesik e három pont valamelyikével.

Most belátjuk, hogy ha a négy pont különböz?, akkor a hat távolság négyzetösszege kisebb 5-nél. Ismeretes ugyanis, hogy ha A,B,C különböz? pontok, akkor a BC2 aszerint kisebb vagy egyenl?, vagy nagyobb (AC2+AB2)-nél, hogy a BAC szög kisebb, egyenl? vagy nagyobb 90°-nál. (Ez következik pl. abból, hogy a koszinusz-tétel szerint BC2-(AC2+AB2)=-2.AC.AB.cos BAC\angle.) Ha tehát a négy pont között van három, A,B,C, amelyre BAC\angle>90°, akkor BC2+AB2+AC2<2BC2\leq2, másrészt a negyedik pont távolsága a három pont mindegyikét?l legfeljebb 1, tehát a hat távolság négyzetösszege kisebb 5-nél. Maradt az az eset, ha a négy pont mind különböz? és nincs közte három A,B,C, amelyre BAC\angle>90°. Belátjuk, hogy ekkor a négy pont téglalapot alkot. Tekintsük ugyanis a négy pont konvex burkát. Ez nem lehet szakasz, hiszen akkor a négy pont egy egyenesen volna, s a két széls?t választva B-nek és C-nek, valamelyik bels?t A-nak, a BAC\angle=180° volna, ami nagyobb derékszögnél. Ha a konvex burok háromszög, akkor a negyedik pont ennek belsejében van. Ebb?l a pontból valamelyik oldal 120°-os vagy annál nagyobb szögben látszik, s így megint találtunk A,B,C pontokat, amelyekre BAC\angle\geq120°>90°. Ha végül a konvex burok négyszög, akkor a négy pont konvex négyszöget alkot. Ez vagy téglalap, vagy valamelyik csúcsában 90°-nál nagyobb szög található. Utóbbi esetben megint találtunk 3 pontot, amelyre BAC\angle>90°. (A a tompaszög csúcsa, B és C a két szomszédos csúcs.) Ezekben az esetekben tehát készen vagyunk.

Az az egyetlen eset maradt hátra, amikor a négy pont téglalapot alkot. Legyen ez a téglalap ABCD. Pythagorasz tétele szerint AB2+BC2+CD2+DA2=2AC2 és másrészt BD=AC, tehát a hat távolság négyzetösszege most 4AC2\leq4. Ezzel beláttuk, hogy a hat távolság négyzetösszege akkor maximális, ha a négy pont közül három egy egységnyi oldalú szabályos háromszöget alkot, a negyedik pedig ezek egyikével egybeesik. A távolságok négyzetösszege ekkor 5.


5. feladat. Arthur király kerek asztalánál 50 lovag ül, közülük 15-öt el akar küldeni a Szent Kehely felkutatására. Hányféleképpen teheti ezt meg, ha szomszédos lovagokat nem akar választani?
  (A) 614 578 920
  (B) 4 639 918 800
  (C) 6 725 200 240
  (D) 7 722 892 430
  (E) 2 250 829 575 120

Helyes válasz: B

Indoklás: Ha egy sorban álló n lovag közül kellene k darabot kiválasztani úgy, hogy ne legyen köztük két szomszédos, a következ?képpen járhatnánk el. Az n-k lovag között, ill. a két szélen összesen n-k+1 hely van. Ahányféleképpen a kiválasztandó k lovagot visszaállíthatjuk ezekre a helyekre, annyi a lehetséges kiválasztások száma, ez pedig \binom{n-k+1}{k}.

Ha most a sorban álló lovagokat kerek asztal mellé ültetjük, akkor az el?bbi kiválasztásokból éppen azok az esetek nem megengedettek, mikor mind a két széls?t kiválasztottuk. Az ilyen esetek száma pedig \binom{(n-4)-(k-2)+2}{k-2} = \binom{n-k-1}{k-2}. Arthur király tehát általában \binom{n-k+1}{k} - \binom{n-k-1}{k-2}-féleképpen választhat. A feladat adatai mellett ez \binom{36}{15} - \binom{34}{13} = 4~639~918~800 lehet?séget jelent.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley