KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Egy ABC háromszög - melyben minden oldal különböz? hosszúságú - síkjára minden csúcsában mer?legest állítunk, és ezekre a sík ugyanazon oldalán felmérjük az AA1=k.BC, BB1=k.CA, CC1=k.AB szakaszt. Határozzuk meg k-t úgy, hogy az ABC háromszög súlypontja egyenl? távolságra legyen az A1,B1,C1 pontoktól.
  (A) \frac{1}{\sqrt2}
  (B) \frac{1}{\sqrt3}
  (C) \frac{1}{2\sqrt2}
  (D) \frac{1}{2\sqrt3}
  (E) \frac{3}{\sqrt5}

Helyes válasz: B

Indoklás: Fel fogjuk használni, hogy az a,b,c oldalakkal szerkesztett háromszög a oldalához tartozó sa súlyvonal négyzete s_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}, másrészt, hogy a súlypont távolsága a b és c oldalak közös végpontjától \frac{2s_a}{3}.

Legyen az ABC háromszög súlypontja S, oldalainak hossza BC=a, CA=b, AB=c. Így az SA1=SB1 követelményb?l SA2+AA12=SB2+BB12, azaz \frac{2b^2 + 2c^2 -a^2}{9} + k^2a^2 = \frac{2c^2 + 2a^2 - b^2}{9} + k^2b^2, azaz k^2 (a^2-b^2) = \frac{a^2-b^2}{3}. Itt kihasználjuk, hogy az oldalak különböz?k, így ennek csak k=\frac{1}{\sqrt3} felel meg.


2. feladat. Van 3 doboz különböz? márkájú kenhet?, köralakú, körcikkekre vágott sajtunk, melyek mindegyikében 6 sajt található (mint a mackósajt). Kiborítjuk a tartalmukat egy asztalra. Hányféleképpen lehet a 18 egyforma méret? cikkb?l 6-ot visszarakni egy dobozba, címkéjükkel felfelé? (2 elhelyezést nem tekintünk különböz?nek, ha alkalmas elforgatással átvihet?k egymásba.)
  (A) 120
  (B) 130
  (C) 169
  (D) 360
  (E) 720

Helyes válasz: B

Indoklás: (I) Ha a dobozba csak egyféle sajtot teszünk, az elhelyezés egyértelm?, és a sajt fajtájának a megválasztására 3 lehet?ségünk van.

(II) Ha kétféle sajtot teszünk a dobozba, figyelembe vesszük, hogy az egyes fajtákból hány cikket használtunk fel. A cikkek számát háromféleképpen választhatjuk meg: egyikb?l 5, másikból 1; egyikb?l 4, másikból 2; mindegyikb?l 3-at. Ha egy fajtából 5 cikket teszünk a dobozba, és egy másikból 1-et, az elhelyezés egyértelm?, az els?k fajtáját 3-féleképpen választhatjuk meg, a másodikét 2-féleképpen. Az elhelyezések száma ezek szerint 6.

Akkor is 6-féleképpen választhatjuk meg a kétféle sajt fajtáit, ha egyikb?l 4-et, egy másikból 2-t használunk fel. Ekkor azonban már nem egyértelm? az elhelyezés: a két azonos fajtájú sajtcikk vagy szomszédos, vagy másodszomszédai egymásnak, vagy egymással szemben vannak. Az ilyen választások és elhelyezések száma tehát 6.3=18.

Ha két fajtából három-három cikket veszünk, akkor az elhelyezésre 4 lehet?ségünk van. A felhasznált két fajtát pedig most csak 3-féleképpen választhatjuk meg (ennyiféleképpen lehet azt megadni, hogy melyiket nem használjuk fel a három fajta közül). Eszerint az ilyen elhelyezések száma 4.3=12.

(III) Ha mindhárom fajtából teszünk a dobozba, az egyes fajtákból rendre 4+1+1, vagy 3+2+1, vagy 2+2+2 cikket választhatunk. A 4+1+1 esetben ismét a csak egy cikkel képviselt fajtát célszer? elhelyezni, majd a dobozt a 4 egyforma sajttal feltölteni. Az 1-1 db pedig lehet szomszédos, másodszomszédos és szemközti. Az els? két esetben 3-féleképpen választhatjuk meg e párból annak a fajtáját, amelyik az óramutató járása szerint el?bb áll, és 2-féleképpen a másiknak a fajtáját. Ha viszont e pár tagjai szemköztiek, az elhelyezést egyértelm?en meghatározza, hogy melyik fajtából használtunk 4 cikket. Az elhelyezések száma itt 2.3.2+3=15.

A 3+2+1 esetben 3-féleképpen választhatjuk azt a fajtát, amelyb?l csak egy cikket használunk, és ezután 2-féleképpen azt, amelyikb?l 2-t. Helyezzük el el?ször az 1 cikkel képviselt fajtát, ez után a többi 5 hely közül az azonos fajtájú két cikk helyét \binom52 = 10-féleképpen választhatjuk meg. Így 10.6=60 elhelyezést kapunk.

Végül a 2+2+2 esetben az azonos fajtájú cikkpárok vagy mind szomszédosak, vagy csak két pár, vagy csak egy marad szomszédos közülük, vagy egy sem. Az elhelyezések száma az el?z?k mintájára rendre 2,3,3.2=6, az utolsó elv mellett pedig 5, így ebben az esetben együttvéve 16 elhelyezést kaptunk.

Tehát az összes lehet?ségek száma 130.


3. feladat. Egy konvex 100-szög csúcsai közül hányféleképpen lehet kiválasztani 4-et úgy, hogy az általuk meghatározott konvex négyszög oldalai a 100-szög átlói legyenek?
  (A) 1 480 300
  (B) 1 820 890
  (C) 2 824 624
  (D) 2 602 442
  (E) 3 460 375

Helyes válasz: E

Indoklás: A feladatot általánosan n-szögre oldjuk meg. Csúcsait pozitív körüljárás szerint jelöljük rendre az 1,2, \ldots, n számokkal. Minden egyes, a követelményt teljesít? négyes csúcskiválasztásnak megfelel egy olyan számnégyes, amelyben (A) nincs szomszédos, azaz 1 különbség? számpár, és (B) nem lép fel együtt az 1 és n szám. És nyilván fordítva is, minden ilyen számnégyesnek megfelel egy, az eredeti követelménynek megfelel? csúcsnégyes. Ezek szerint a kívánt csúcsnégyesek számát megadja az (A) és (B) tulajdonságú számnégyesek száma. Ez utóbbit úgy határozzuk meg, hogy az (A) tulajdonságú számnégyesek N(A) számából levonjuk azoknak az (A) tulajdonságú számnégyeseknek az N(A\overline{B}) számát, melyeknek nincs meg a B tulajdonságuk.

Jelöljük egy megfelel?en kiválasztott számnégyes számait növekv? rendben a,b,c,d-vel, így a számnégyes megfelel? volta ekvivalens az

(1)   1\leqa<a+1<b<b+1<c<c+1<d\leqn

egyenl?tlenség-lánc teljesülésével. Így pedig a

(2)   b'=b-1,  c'=c-2,  d'=d-3

jelöléssel teljesül az

(3)   1\leqa<b'<c'<d'\leqn-3

egyenl?tlenség-lánc is. Fordítva, ha az a,b',c',d' számokra teljesül (3), akkor a bel?lük (2) szerint származtatott a,b,c,d számokra teljesül (1). Ezek szerint N(A) egyenl? a (3)-nak eleget tev? számnégyesek számával, vagyis az els? n-3 természetes szám közül kiválasztható különböz? számokból álló (és monoton növekv?en rendezett) számnégyesek számával: N(A) = \binom{n-3}{4}.

Ha egy számnégyesnek megvan az (A) tulajdonsága, de nincs meg a (B) tulajdonsága, akkor az elemei között szerepel az 1-es és az n, és a másik két elemére

(4)   3\leqb<b+1<c\leqn-2

teljesül, ahol b és c jelöli ezeket az elemeket. A (4)-nek eleget tev? számpárok számát a fentiekhez hasonlóan meghatározva kapjuk, hogy N(A\overline{B}) = \binom{n-5}{2}. Tehát az (A) és (B) tulajdonságú számnégyesek száma N(AB) = N(A) - N(A\overline{B}) = \binom{n-3}{4} - \binom{n-5}{2} = \frac{n}{4} \binom{n-5}{3}, ami n=100-ra 3 460 375.


4. feladat. Levelet írtunk 10 barátunknak, és a leveleket a megcímzett borítékokba véletlenszer?en tettük bele. Mi a valószín?sége annak, hogy pontosan 5 levél kerül ahhoz, akinek szántuk?
  (A) \approx0,0031
  (B) \approx0,0082
  (C) \approx0,0124
  (D) \approx0,0156
  (E) \approx0,0170

Helyes válasz: A

Indoklás: A lehetséges események száma 10!, ennyiféleképpen permutálhatjuk a leveleket az egy sorban lerögzített borítékokhoz. Kedvez? eseménynek azt tekintjük, ha 5 levél a saját borítékjába, 5 pedig nem a sajátjába kerül. A helyesen borítékolt levelek \binom{10}{5}-féleképpen választhatóak meg. Minden ilyen esetben a következ? feladat áll el?ttünk: a hátralév? 5 levél - jelöljük ezeket az 1,2,3,4,5 számokkal - olyan sorrendjei számának a megállapítása a rendre hozzájuk tartozó 1,2,3,4,5 borítékok el?tt - röviden: helyeken -, amelyekben minden egyes szám részére egy-egy hely tiltott és fordítva, minden egyes hely részére egy-egy szám tiltott. Pl. az 1-es szám állhat bárhol, kivéve az 1-es helyen, és az 1-es helyen állhat bármi, kivéve az 1-es szám.

Nevezzük általában az 1,2,\ldots, n számok ilyen sorrendjeit e számok abszolút permutációinak, és számukat jelölje An. Tegyük fel, hogy A1,A2,A3,A4 értékét már ismerjük. Megmutatjuk, hogy ezekb?l A5 értéke kiszámítható. Állítsuk az 5-öst valamelyik kisebb sorszámú helyre, mondjuk a 4-dikre (ezzel természetesen a 4-es számra is teljesül a követelmény). Ha most a 4-est az 5. helyre írjuk be - vagyis az 4 és 5 helyet cserél -, ezáltal feladatunk lesz?kül az 1,2,3 számok abszolút permutálására, az ilyenek száma tehát A3. Ha pedig a 4-est nem az 5. helyre tesszük, akkor az 1,2,3,4 számok abszolút permutációit kell képeznünk az 1.,2.,3. és 5. helyeken (a 4-es részére más szempont miatt tilos az 5. hely, mégpedig azért, mert az olyan permutációkat már elintéztük), ide tehát A4 számú sorrend tartozik. Amíg tehát az 5-ös a 4. helyen áll, A3+A4 abszolút permutációt kapunk, és ha az 5-ös szám sorra veszi a részére megengedett 4 helyet, akkor A5=4(A3+A4).

Ugyanezzel a gondolatmenettel A4=3(A2+A3), A3=2(A1+A2), másrészt nyilván A1=0,A2=1. Ezek szerint A3=2,A4=9 és A5=44. Ezzel a kedvez? esetek száma az eredeti problémában \binom{10}{5} \cdot 44, tehát a keresett valószín?ség \frac{\binom{10}{5} \cdot 44}{10!} \approx 0,0031.


5. feladat. A 100-nál kisebb prímszámok közül úgy kell összeválogatnunk 5-öt, hogy ezek számjegyei között az 1-es, 2-es, \ldots, 9-es mindegyike egyszer forduljon el?. Hányféleképpen lehetséges ez?
  (A) 1
  (B) 3
  (C) 4
  (D) 6
  (E) 8

Helyes válasz: E

Indoklás: Az 5 számban szerepl? számjegyek száma csak úgy lehet egyenl? a rendelkezésre álló számjegyek számával, 9-cel, ha köztük 4 kétjegy?, 1 egyjegy? van. A kétjegy?ek utolsó számjegye nem lehet páros és nem lehet az 5-ös, tehát csak az 1,3,7,9 számok közül kerülhet ki. Eszerint a négy kétjegy? szám utolsó jegye - valamilyen sorrendben - éppen a fenti négy szám, és emiatt ezek máshol nem szerepelhetnek. Az egyjegy? prímszámok közül pedig így csak a 2 és 5 kerülhet szóba.

41 - 61 -
43 53 - 83
47 - 67 -
- 59 - 89

Azt kell meghatároznunk, hogy hányféleképpen választhatunk ki a fenti alakba rendezett számok közül négyet úgy, hogy mindegyik sorból és oszlopból pontosan egyet válasszunk.

Ha az els? sorból a 41-et választjuk, akkor a harmadik sorból már csak a 67-et választhatjuk, és a másik két szám választására két lehet?ségünk marad: az 53, 89 pár, és az 59, 83 pár. Ez eddig két eset. Ha az els? sorból a 61-et választjuk, a harmadik sorból csak a 47-et választhatjuk, és a másik két szám megválasztására ugyanaz a két lehet?ségünk van, mint az el?tt. Itt tehát négyféleképpen választhatjuk meg a 4 kétjegy? számot.

41 - 61 -
43 23 - 83
47 - 67 -
- 29 - 89

Ebben az esetben is 4 megfelel? választási lehet?ségünk van. Ezzel együttvéve tehát összesen 8-féleképpen lehetséges.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley