KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Hányféleképpen lehet felbontani az 1/6-ot két különböz? természetes szám reciprokának összegére? (Az 1/a+1/b és 1/b+1/a felbontást nem tekintjük különböz?nek.)
  (A) 1
  (B) 2
  (C) 3
  (D) 4
  (E) 5

Helyes válasz: d

Indoklás: 1/6=1/12+1/12, tehát ha különböz? megoldásokat keresünk, akkor kereshetjük \frac{1}{6}=\frac{1}{12-a}+\frac{1}{12+b} alakban, ahol a és b pozitív egészek. Mindkét oldalt 6(12-a)(12+b)-vel megszorozva, majd a kapott egyenletet rendezve:

(12-a)(12+b)=6(12+b)+6(12-a),

-6a+6b-ab=0,

b(6-a)=6a,

b=\frac{6a}{6-a}=\frac{6a-36+36}{6-a}=-6+\frac{36}{6-a}.

Ez csak akkor lehetséges, ha 6-a osztója 36-nak. Mivel b pozitív egész, ezért \frac{36}{6-a}>6, értéke 9, 12, 18 vagy 36; ekkor b értéke rendre 3, 6, 12 vagy 30; a értéke pedig 2, 3, 4 vagy 5.

A lehetséges felbontások: 1/6=1/10+1/15=1/9+1/18=1/8+1/24=1/7+1/42.

Megjegyzés: Megmutatható, hogy bármilyen 1/pq számot (ahol p és q különböz? prímek) négyféleképpen lehet felbontani két különböz? természetes szám reciprokának összegére.


2. feladat. Az ABC hegyesszög? háromszög AB oldala 14 cm, BC oldala 13 cm, a C pontból induló magassága 12 cm. Mekkora annak a körnek a sugara, amelyik érinti a háromszög két említett oldalát, és középpontja a háromszög CA oldalán van?
  (A) 14/3
  (B) 50/9
  (C) 56/9
  (D) 64/9
  (E) 70/9

Helyes válasz: c

Indoklás: Legyen a C pontból induló magasság talppontja T, a kör középpontja O, az O-ból az AB-re állított mer?leges talppontja pedig P.

A TBC derékszög? háromszögben Pitagorasz tétele miatt TB=5, így AT=9. Szintén a Pitagorasz-tétel miatt AC=15.

Mivel BO szögfelez?, ezért a szögfelez?-tétel szerint AO:OC=14:13. Az AOP\triangle\sim ACT\triangle, így r:12=14x:27x, vagyis r=12\cdot\frac{14}{27}=\frac{56}{9}.


3. feladat. Oldjuk meg a következ? egyenletrendszert:

5x+0,1y=9,        0,2x+10y=0,5.

A megoldáspárok hányadrészében lesz x és y el?jele különböz??
  (A) 0
  (B) 1/3
  (C) 1/2
  (D) 3/4
  (E) 1

Helyes válasz: e

Indoklás: Vegyük észre, hogy mind az x, mind az y kitev? alatt álló két alap egymásnak reciproka, tehát a megfelel? hatványok is egymás reciprokai. Így az els? egyenlet két tagja helyett az 5x=u, 0,1y=v ismeretleneket bevezetve egyenletrendszerünk, mindjárt némi átalakítással így írható:

u+v=9,

\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{v+u}{uv}=\frac{9}{uv}=0{,}5,\qquad uv=18.

Ismerjük tehát u és v összegét és szorzatát. Ezekb?l u és v a

z2-9z+18=0

egyenlet gyökei: z1=6, z2=3.

Legyen el?ször 5x=u=z1=6 és 0,1y=v=z2=3. Innen 10 alapú logaritmust véve

 x_1=\lg\,6:\lg\,5\approx0{,}7782:0{,}6990\approx1{,}113\quad\rm{\'es}

 y_1=\lg\,3:\lg\,0{,}1\approx0{,}4771:(-1)=-0{,}4771.

Ha pedig 5x=u=z2=3 és 0,1y=v=z1=6, akkor

 x_2=\lg\,3:\lg\,5\approx 0{,}4771:0{,}6990\approx 0{,}6826,

 y_2=\lg\,6:\lg\,0{,}1=-\lg\,6\approx-0{,}7782.

Mindkét megoldásban különböz? x és y el?jele.


4. feladat. A, B, C, D, E és F egy útvonalon egymás után következ? városok. Az útvonal egymás után csatlakozó egyenes szakaszairól a következ?ket tudjuk: AB>BC>CD>DE>EF; mindegyik szakasz hossza egész szám; AB=2EF. Az útvonal hossza A-tól F-ig 53 km. Mekkora az EF szakasz?
  (A) 7
  (B) 8
  (C) 9
  (D) 7 vagy 8
  (E) 8 vagy 9

Helyes válasz: a

Indoklás: Jelöljük az els?, a leghosszabb szakaszt 2d-vel. Mivel a szakaszok csökken?en követik egymást, és mindegyiknek a mértékszáma egész szám, ezért a következ? szakasz mértékszáma legfeljebb 2d-1, a következ?é 2d-2 és így tovább.

Másrészt a legkisebb szakasz mértékszáma a feltétel szerint d. Ebb?l kiindulva a következ? szakasz hosszának mértékszáma legalább d+1, a következ?é legalább d+2 és így tovább.

A teljes AF=53 km útvonal hossza alapján így a következ? egyenl?tlenséget írhatjuk fel d-re:

2d+(2d-1)+(2d-2)+(2d-3)+d\ge53\ged+(d+1)+(d+2)+(d+3)+2d,

azaz

9d-6\ge53\geq5d+6,

amib?l


6\frac{5}{9}\le d\le7\frac{5}{6}

következik, és mivel d mértékszáma is egész, azért d=EF=7 és AB=14. Mivel DE<CD<BC 7-nél nagyobb, de 14-nél kisebb egész számok, és összegük 53-7-14=32, ezért a következ? három lehet?ség adódik a hosszukra:

DE=8,    9,    9,

CD=11,    10,    11,

BC=13,    13,    12.

Mindezek szerint az útszakaszok mértékszámaira három lehet?séget találtunk.


5. feladat. Levelet írtunk tíz barátunknak és a leveleket a megcímzett borítékokba véletlenszer?en tettük bele. Mi a valószín?sége annak, hogy pontosan 5 levél kerül ahhoz, akinek szántuk?
  (A) \frac{1}{30240}
  (B) \frac{44}{30240}
  (C) \frac{44}{14400}
  (D) \frac{96}{14400}
  (E) \frac{120}{14400}

Helyes válasz: c

Indoklás: Az öt jó helyre kerül? levél kiválasztására \binom{10}{5} lehet?ség van. Ha a maradék öt levél mindegyikét rossz borítékba tesszük, akkor vagy a) egy kettes és egy hármas egymás közti cserél?dés van, vagy b) az összes levél cserél?dött egymás között.

a) Ekkor az 12345 borítékba tehettük rendre a 21534, 21453 leveleket, vagy hasonlóan az öt sorszámból bármely kett?t kiválasztva és azokat egymással felcserélve mindig újabb két lehet?séget kapunk. Ez \binom{5}{2}\cdot2=10\cdot2=20 lehet?ség.

b) Ha nem keletkezik kettes ciklus, akkor az 12345 borítékokba tehetjük rendre az 51234, 41253 leveleket stb. Itt, ha az 1-es levelet már elhelyeztük (pl. a 2-es borítékba), akkor az ehhez a borítékhoz tartozó levelet három helyre tehetjük (hiszen az 1-esbe nem kerülhet), és a maradék három levél elhelyezésére két lehet?ség van. Mivel az 1-es levél elhelyezésére négy lehet?ség van, ezért ez 4.3.2=24 eset.

A valószín?ség tehát

\frac{\binom{10}{5}\cdot44}{10!}=\frac{10!\cdot44}{5!5!10!}=\frac{44}{120^2}=0,0030\dot5

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley