KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Adott a síkban két egységnyi sugarú, egymást érint? kör: k és k1. Egyik közös küls? érint?jük az ,,e'' egyenes. Ezután rendre megrajzoljuk a k2 és k3 köröket úgy, hogy mindegyikük érintse k-t, e-t és az 1-gyel kisebb sorszámú kört. Mekkora a k3 kör sugara?
  (A) 1/9
  (B) 1/4
  (C) 2/3
  (D) 1
  (E) 2

Helyes válasz: a

Indoklás: Tekintsük az alábbi ábrát.

k2 sugarát jelölje r. Ekkor a zöld háromszögre felírva Pitagorasz tételét:

12+(1-r)2=(1+r)2,

amib?l r=1/4.

k3 sugarát jelöljük \varrho-val, a kék háromszög vízszintes befogóját pedig x-szel.

A kék háromszögre felírva Pitagorasz tételét:

x2+(1-\varrho)2=(1+\varrho)2,

amib?l

(1)x2=4\varrho.

A piros háromszögre felírva Pitagorasz tételét:

(1-x)2+(r-\varrho)2=(r+\varrho)2,

amib?l 1+x2-2x=\varrho, vagyis

(2)4+4x2-8x=4\varrho.

(1) és (2) bal oldalát egyenl?vé téve:

x2=4+4x2-8x,

amit megoldva x1=2 és x2=2/3. A 2 nem megfelel? gyök, a másik gyökb?l pedig \varrho=1+(2/3)2-2.2/3=1/9.


2. feladat. Oldjuk meg a következ? egyenletrendszert:

5x+0,1y=9,

0,2x+10y=0,5.

A megoldásokat a síkbeli koordinátarendszerben ábrázolva, mekkora az origóhoz legközelebbi pontnak az origótól való távolsága?
  (A) 0,1927
  (B) 1,0352
  (C) 1,1231
  (D) 1,1927
  (E) 1,2109

Helyes válasz: b

Indoklás: Vegyük észre, hogy mind az x, mind az y kitev? alatt álló két alap egymásnak reciproka, tehát a megfelel? hatványok is egymás reciprokai. Így az els? egyenlet két tagja helyett az 5x=u, 0,1y=v ismeretleneket bevezetve egyenletrendszerünk, mindjárt némi átalakítással így írható:

u+v=9,

\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{v+u}{uv}=\frac{9}{uv}=0{,}5,\qquad uv=18.

Ismerjük tehát u és v összegét és szorzatát. Ezekb?l u és v a

z2-9z+18=0

egyenlet gyökei: z1=6, z2=3.

Legyen el?ször 5x=u=z1=6 és 0,1y=v=z2=3. Innen 10 alapú logaritmust véve

 x_1=\lg\,6:\lg\,5\approx0{,}7782:0{,}6990\approx1{,}113\quad\text{és}

 y_1=\lg\,3:\lg\,0{,}1\approx0{,}4771:(-1)=-0{,}4771.

Ha pedig 5x=u=z2=3 és 0,1y=v=z1=6, akkor

 x_2=\lg\,3:\lg\,5\approx 0{,}4771:0{,}6990\approx 0{,}6826,

 y_2=\lg\,6:\lg\,0{,}1=-\lg\,6\approx-0{,}7782.

(x1,y1) origótól való távolsága 1,2109; (x2,y2) origótól való távolsága pedig 1,0352.


3. feladat. Mekkora a területe annak a háromszögnek, amelyet a 8x-15y-35=0, az x-2y-2=0 és az y=0 egyenesek határolnak?
  (A) 11,28125
  (B) 19
  (C) 22,5625
  (D) 41,5625
  (E) 45,125

Helyes válasz: c

Indoklás: Ábrázoljuk a két egyenest.

A kérdéses háromszög a DBE háromszög. Az E pont a két egyenes metszéspontjaként számolható: E(40,19). A D, B és F pontok x koordinátája rendre 2, 35/8 és 40. Így a háromszög területe:

T_{\rm DBE}=\frac{\left(\frac{35}{8}-2\right)\cdot19}{2}=22,5625.


4. feladat. Egy bridzskártya csomagból ketten kivették a treff, kör, pikk színek 1-t?l 6-ig számozott lapjait és ezzel a 18 kártyával a következ? szabály szerint játszanak. A játékos el?ször két lapot húz a bankár kezében lev? csomagból. Ha a kihúzott lapokon lev? számok összege 7, akkor nyert, ha nagyobb, mint 7, akkor vesztett, ha pedig kisebb 7-nél, akkor húz egy harmadik lapot, és csak akkor nyer, ha az új szám az els? kett? ?sszegét 7-re egészíti ki. Mi a valószín?sége, hogy a játékos nyer?
  (A) 0,0662
  (B) 0,1324
  (C) 0,1937
  (D) 0,2426
  (E) 0,7564

Helyes válasz: d

Indoklás: Nyer a játékos, ha az els? két húzás eredményének az összege 7. Magát a 7-es számot három lényegesen különböz? módon állíthatjuk el? két, a lapokon el?forduló szám összegeként:

7=6+1=5+2=4+3.

Mindegyik el?állításban 3-3-féleképpen választhatjuk meg a lapok színét, és 2-féleképpen a lapok sorrendjét. A valószín?ség tehát:


p_1=\frac{3\cdot3\cdot3\cdot2}{18\cdot17}=\frac{3}{17}.

Háromtagú összegre négyféleképpen bonthatjuk a 7-et:

7=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2.

Ezek közül azoknak, amelyekben két egyenl? tag van, 3\cdot\binom{3}{2}\cdot6 elemi esemény felel meg, mert az egyedül szerepl? szám színét 3-féleképpen, a kétszer szerepl? szám színeit \binom{3}{2}-féleképpen, a három lap sorrendjét 3!=6-féleképpen választhatjuk meg. Egyetlen olyan háromtagú felbontása van a 7-nek, melyben különböz? tagok szerepelnek. Ennek 33.6 elemi esemény felel meg, hiszen mindegyik szám színét 3-féleképpen választhatjuk meg, a sorrendet pedig ismét 6-féleképpen.

Ezek szerint ebben az esetben a kedvez? elemi események valószín?ségeinek az összege


p_2=\frac{1}{18\cdot17\cdot16}\left\{3\cdot3\cdot\binom{3}{2}\cdot6+3^3\cdot6\right\}=\frac{2\cdot9}{17\cdot16}=\frac{9}{136}.

A játékos tehát


p=p_1+p_2=\frac{3}{17}+\frac{9}{136}=\frac{33}{136}=0{,}243

valószín?séggel nyer.


5. feladat. Adott egy 10 cm oldalú szabályos nyolcszög alakú keret és egy a nyolcszög oldalával egyenl? oldalhosszúságú szabályos háromszöglemez. A lemez egy oldalával a kerethez illeszkedik, a bels? oldalon. A lemezt körülgördítjük a keret bels? oldalán. Mekkora területet súrol a lemez az eredeti helyzetébe való visszatéréséig?
  (A) \approx335,27 cm2
  (B) \approx356,14 cm2
  (C) \approx363,39 cm2
  (D) 412 cm2
  (E) \approx451,13 cm2

Helyes válasz: e

Indoklás: A háromszöglemez az ábrán látható területet súrolja.

A terület 8 egybevágó szabályos háromszögb?l és 8 egybevágó körcikkb?l áll. A háromszögek oldala és a körcikkek sugara 10 cm, a körcikkek 15o-osak. Így a terület:

t=\frac{8\cdot10^2\sqrt{3}}{4}+8\frac{10^2\pi}{360^\circ}\cdot15^\circ=

=\frac{10^2}{3}(\pi+6\sqrt{3})\approx 451{,}13~{\rm cm}^2.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley