Dirac és a kókuszdiók
A KöMaL múlt évi novemberi számában röviden megemlékeztünk a Nobel-díjas angol fizikus, P. A. M. Dirac születésének 100-adik évfordulójáról. Három - pontversenyen kívüli - feladványt is adtunk Olvasóinknak, ezek megoldását most ismertetjük.
1. A közölt fénykép (Radnai Gyula felvétele) a londoni Westminster apátságban található egyik emlékkövet mutatja. Az emlékkövet, amely közvetlenül Isaac Newton síremléke mellett található, 1995. november 13-án leplezték le a templomban tartott ceremónia után, ezzel is emléket állítva a világhírű fizikusnak. A Royal Society ugyanekkor díszülésen méltatta Dirac tudományos eredményeit.
2. Az emlékkövön Dirac neve és az évszámok mellett a híres Dirac-egyenlet, az elektron relativisztikus hullámegyenlete olvasható, igen tömör alakban:
\(\displaystyle i\gamma\!\cdot\!\partial\psi=m\psi. \)
Az egyenletben szereplő szimbólumok jelentése dióhéjban: \(\displaystyle i=\sqrt{-1}\) a képzetes egység, \(\displaystyle \partial\) az idő- és helykoordináták szerinti deriválás műveletére utal, tulajdonképpen 4 mennyiség, amelyeket 4x4-es \(\displaystyle \gamma\) mátrixok (az ún. Dirac-mátrixok) szoroznak, és végül \(\displaystyle \psi\) egy 4-komponensű hullámfüggvény, amely az elektron relativisztikus kvantummechanikai állapotát írja le. Az egyenlet a fizikusok által előszeretettel használt \(\displaystyle \hbar=c=1\) egységrendszerben értendő (c a fénysebesség vákuumban, \(\displaystyle \hbar\) pedig a Planck-állandó 2\(\displaystyle \pi\)-vel osztva), és a szabad (kölcsönhatásoktól mentes) elektronokat, illetve pozitronokat írja le. (Mindezeket természetesen nem az egyenlet lényegi tartalmának elmagyarázási szándékával adtuk meg, hanem csupán azért, hogy érzékeltessük: mennyi minden van belesűrítve ebbe a néhány betűvel leírható formulába.)
3. Vajon hogyan oldotta meg Dirac - állítólag fejben - az alábbi játékos matematikai feladatot:
Hét ember elmegy kókuszdiót gyűjteni. Találnak is jó sokat, de rájukesteledik, így az osztozkodást reggelre hagyva lefekszenek aludni. Éjszaka egyikük felébred, s nem bízván a társaiban egymaga kívánja 7 részre osztani a dió-kupacot. Ezt 1 maradékkal meg is tudja tenni. Az ,,egyheted'' részt eldugja, a maradékot a fa tetején figyelő majomnak dobja, s visszafekszik aludni. Az éjszaka során mind a 6 társa egymás után ugyanígy jár el (mindig 1 dió marad), s reggel - mintha éjszaka mi sem történt volna - közösen is elosztják a kupacot (s az 1 maradékot a majomnak adják). Legalább hány diót gyűjtöttek összesen?
A megadott feltételek szerint osztható diók száma határozatlan: ha találunk egy jó megoldást, ahhoz 78 egész számú többszörösét hozzáadva ugyancsak jó megoldást kapunk. Feladatunk a legkisebb pozitív megoldás meghatározása. Dirac - a fizikuskörökben gyakran emlegetett történet szerint - így érvelt. Formálisan a -6 dió jó megoldás, hiszen ha elveszünk belőle 1-et (és azt a majomnak adjuk), akkor -7 ,,marad'', s ennek 1/7-ét eldugva ismét -6 lesz a diók száma. Az osztozkodás ilyen formája tehát akárhányszor megismételhető. Mivel azonban mi a legkisebb pozitív megoldásra vagyunk kiváncsiak, ez 78-6=5 764 795 lesz. (Elég tekintélyes mennyiség!) A történet eredetét nem sikerült megbízhatóan ellenőrizni, de elképzelhető, hogy Diracnak semmi köze a feladványhoz, csak éppen az itt ismertetett megoldás és a Dirac-féle lyukelmélet hasonló logikája miatt varrta nyakába a ,,hálás utókor''. Dirac - az általa 1928-ban felírt relativisztikus hullámegyenlet megoldásait vizsgálva furcsa, negatív tömegű megoldásokat is talált. Volt bátorsága ezeket a ,,nem-fizikai'' megoldásokat megtartani, megvizsgálni, s rájött, hogy ezek (pontosabban ezek hiánya, mint a buborékok a tengervízben) az elektronokkal azonos tömegű, de velük ellentétes töltésű részecskeként értelmezhetők. És néhány évvel később, 1932-ben Anderson felfedezte a pozitronokat!
Gnädig Péter