KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Csatár Katalin - Harró Ágota - Hegyi Györgyné - Lövey Éva - Morvai Éva - Széplaki Györgyné - Ratkó Éva:

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS FELADATOK Kezdőknek

2. rész

  1. rész   2. rész   3. rész   4. rész   5. rész   6. rész   7. rész

És akkor jöjjenek a feladatok

1. Egy szabályos dobókockával egyszer dobunk. Milyen esemény valószínűsége lehet az , a , illetve az érték?
Megoldás:

P(a dobott szám prím) =
P(a dobott szám 3-mal nem osztható) =
P(a dobott szám 3-mal osztható) =

2. Egy dodekaéder lapjaira ráírtuk a számokat 1-12-ig. Mekkora a valószínűsége, hogy
  1. a dobott szám 4-gyel osztható,
  2. a dobott szám 3-mal osztható,
  3. a dobott szám 4-gyel és 3-mal osztható,
  4. a dobott szám 4-gyel vagy 3-mal osztható,
  5. a dobott szám sem 3-mal, sem 2-vel nem osztható,
  6. a dobott szám jegyeinek összege legfeljebb 4,
  7. a dobott szám nem négyzetszám?

Megoldás:

  1. A tizenkét számból három osztható 4-gyel : 4, 8,12.
    P =
  2. A tizenkét számból négy osztható 3-mal : 3, 6, 9, 12 .
    P =
  3. Csak a 12 osztható 3-mal és 4-gyel, tehát
    P =
  4. Azt már láttuk, hogy három 4-gyel, illetve négy 3-mal osztható szám van a tizenkét szám között. A kettőt összeadva azt kapjuk, hogy 4+3=7 olyan szám van, ami 4-gyel vagy 3-mal osztható. De a 12-t kétszer is beleszámoltuk, ezért valójában csak 7-1=6 ilyen szám van. Vagyis
    \(\displaystyle P={6\over12}={1\over2}\)
  5. Nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal az 1, az 5, a 7 és a 11, ezért
    P =
  6. A számjegyek összege legfeljebb 4 az 1,a 2, a 3, a 4, a 10, a 11 és a 12 számoknál, ezért
    P =
  7. Négyzetszámok az 1, a 4, a 9 , a többi kilenc nem az, tehát
    P =


3. Fanni a zsebében lévő két szem citromos és két szem málnás cukorkából kivesz kettőt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy különböző ízűek?

Megoldás:

A négy cukorkából kettőt módon lehet kiválasztani. Ezekből nekünk két eset nem felel meg: ha a két citromosat, vagy a két málnásat választja. Ezek valószínűsége . A többi négy esetben különböző a két cukor íze. Ennek a valószínűsége: . (Ezt így is megkaphattuk volna: 1 -1/3 = 2/3.)

4. Két tálban 10-10 darab alma van, mindegyikben egy sárga, a többi piros. Bekötött szemmel választunk egy-egy almát mindkét tálból.

  1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a két sárgát választjuk?
  2. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy sárgát és egy pirosat választunk?
  3. Mekkora a valószínűsége annak, hogy legalább az egyik választott alma piros?

Megoldás:

  1. Annak a valószínűsége, hogy az egyik tálból a sárga almát választjuk 0,1. A két tálból egymástól függetlenül választunk, ezért annak a valószínűsége, hogy mindkét tálból a sárgát vesszük ki 0,1×0,1=0,01.
  2. Annak a valószínűsége, hogy az egyik tálból a sárga almát választjuk 0,1; annak, hogy a pirosat 0,9. A sárga almát vagy az első, vagy a második tálból választhatjuk, ezért a két különböző színű alma választásának valószínűsége: 0,1×0,9+0,9×0,1=2×0,1×0,9=0,18.
  3. Ha legalább az egyik alma piros, akkor vagy az egyik piros és a másik sárga, vagy mindkettő piros. Annak a valószínűsége, hogy az egyik választott alma piros, a másik pedig sárga a b. feladat szerint 0,18. Annak a valószínűsége, hogy mindkét választott alma piros 0,9×0,9=0,81. Így annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik választott alma piros: 0,18+0,81=0,99. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha azt mondjuk, hogy akkor nem lenne egy piros alma sem, ha mind a kétszer sárgát választunk. Tehát P(legalább az egyik piros)=1-P(mindkettő sárga)=1-0,01=0,99.


5. Az számkártyákat összekeverjük, majd egymás után letesszük az asztalra. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az így kirakott négyjegyű szám

  1. páratlan,
  2. hárommal osztható,
  3. néggyel osztható?

Megoldás:

A négy számkártyát 4×3×2×1=24 különböző sorrendben tudjuk egymás után letenni.

  1. Akkor páratlan, ha 1-re vagy 3-ra végződik, ez a 24 lehetséges eset fele, vagyis a valószínűsége 0,5.
  2. A számjegyek összege 1+2+3+4=10, azaz egyik szám sem lesz hárommal osztható, a valószínűség 0.
  3. Akkor osztható néggyel, ha az utolsó két számjegy 12 vagy 24 vagy 32. Mindhárom esetben a maradék két számjegy kétféle sorrendben állhat elöl, tehát a kedvező esetek száma 2×3=6. A valószínűség tehát .


6. Két dobókockával dobunk egyszerre és összeadjuk a dobott számokat. Tomi arra fogad, hogy az összeg 6 lesz, Laci arra, hogy az összeg 7 lesz, Feri pedig arra, hogy az összeg 8 lesz. Melyiküknek van nagyobb esélye a nyerésre?

Megoldás:

Két kockával egyszerre dobva 6×6=36 a lehetséges esetek száma. Ebből a 36-ból kell kiválasztanunk azokat, amelyeknél a dobott számok összege 6, vagy 7, vagy 8.
Az 1; 2; 3; 4; 5; 6 számokból a 6 is, a 7 is és a 8 is háromféle módon állítható elő két szám összegeként:

6 = 1+5 7 = 1+6 8 = 2+6
6 = 2+4 7 = 2+5 8 = 3+5
6 = 3+3 7 = 3+4 8 = 4+4
Jelöljük meg az egyik dobókockát!
Amikor a két összeadandó azonos, akkor a jelöletlen és a jelölt kockán is ugyanaz a szám áll, vagyis ez az eset egyféleképpen jöhet létre.
Amikor a két összeadandó különböző, akkor két lehetőség van: a jelölt kockán van az első összeadandó és a jelöletlenen a második, vagy fordítva.
Így a hat 2+2+1=5, a hét 2+2+2=6, a nyolc 2+2+1=5 esetben jöhet létre a 36 lehetséges esetből. Ezért a tippelt összegek valószínűsége:
Tehát Laci a legesélyesebb a nyerésre, Tomi és Feri esélye egyforma.
(Egy dobókocka szemközti lapjain mindig 7 a számok összege. Tehát, ha 1 áll fölül, akkor 6 alul; ha 5 fölül, akkor 2 alul. Így az 1+5 összegnek megfeleltethető egy 2+6 összeg. Ugyanígy bármelyik 6-os összegnek megfeleltethető egy 8-as összeg; így látható, hogy ugyanannyiféleképpen lesz az összeg 6, mint 8.)


7. Két dobókockával dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok

  1. szorzata 12,
  2. szorzata prímszám?

Megoldás:

Az egyik kockával is hatféle számot dobhatunk, a másikkal is, ezért összesen 6 × 6 = 36 elemi esemény lehetséges.
  1. 12 = 2 × 6
            6 × 2
            3 × 4
            4 × 3
    A szorzat négyféleképpen állhat elő , ezért P( a szorzat 12 ) = .
  2. A szorzatok között három prímszám van, a 2, a 3 és az 5. Mindegyik kétféleképpen jöhet ki: 2 = 2×1= 1×2, 3 = 3×1 = 1×3, 5 = 5×1= 1×5, ez 6 eset.
    Tehát P( a szorzat prímszám) = .


8. Két dobókockával dobunk. Adjunk meg olyan elemi eseményeket, amelyek valószínűsége

a.    b.    c.    d.    1

Megoldás:

  1. P(a dobott számok összege 3) = =
  2. P(a dobott számok összege páros négyzetszám) = =
  3. P(a dobott számok összege 5-nél nagyobb prímszám) = =
  4. P(a dobott számok szorzata legfeljebb 36) = 1


9. Balázs és Marci testvérek. Esténként négy dobókocka feldobásával döntik el, ki sétáltatja másnap reggel a kutyát. Négy kockával dobnak egyszerre. Ha a négy szám között van hatos, akkor Balázs, különben Marci sétáltatja másnap a kutyát. Igazságos-e ez a módszer?

Megoldás:

Egy kockadobás eredménye hatféle lehet: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
Marci akkor sétáltatja a kutyát, ha nem dobnak hatost, vagyis a dobások eredménye az 1; 2; 3; 4; 5 számok közül kerül ki.
Így annak a valószínűsége, hogy egy dobás nem hatos .
Annak a valószínűsége, hogy a négy kocka egyikén sincs hatos, vagyis hogy Marci sétáltatja reggel a kutyát:

Minden más esetben van 6-os a dobások között, tehát P(B) = 1-P(M)0,52.
Tehát kicsivel nagyobb a valószínűsége annak, hogy Balázs sétáltatja reggel a kutyát, mint annak, hogy Marci: a módszer nem igazságos.


10. Öt dobókockával dobunk egyszerre. Mekkora annak a valószínűsége, hogy három kockán lesz páros szám, kettőn pedig páratlan?

Megoldás:

A dobókocka oldalain ugyanannyi páros szám van, mint páratlan, ezért ugyanakkora eséllyel gurul páros számra, mint páratlanra.
A kockák egymástól függetlenül gurulnak, ezért az összes lehetséges eset 25 = 32, hiszen minden kocka vagy páros, vagy páratlan számot mutat.
Feltéve, hogy két kocka mutat páros, három páratlan számot, a következő lehetőségek adódnak:

1.2.3.4.5.
pspspsptlptl
pspsptlpsptl
pspsptlptlps
psptlpspsptl
psptlpsptlps
psptlptlpsps
ptlpspspsptl
ptlpspsptlps
ptlpsptlpsps
ptlptlpspsps
Ez tíz eset a 32-ből, tehát a valószínűség


11. Egy fiókban van hat pár kesztyű.

  1. Csukott szemmel kiveszünk belőle két darabot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két jobbkezes kesztyűt választunk?
  2. A hat pár kesztyűből kivettünk két darab jobbkezest, majd a maradékból megint húzunk két darabot csukott szemmel. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két balkezest választunk?

Megoldás:

  1. 6 db jobbkezes és 6 db balkezes kesztyű van a fiókban. Közülük kettőt lehetséges módon tudunk kiválasztani. Nekünk az a kedvező, ha mindkét kesztyű a jobbkezesek közül kerül ki. Ez esetben fordulhat elő. Így két jobbkezes kesztyű kiválasztásának valószínűsége: .
  2. Most 4 db jobbkezes és 6 db balkezes kesztyű van a fiókban. Közülük kettőt lehetséges módon tudunk kiválasztani. Most az a kedvező, ha mindkét kesztyű a balkezesek közül kerül ki. Ez esetben fordulhat elő.
Így két balkezes kesztyű kiválasztásának valószínűsége: .

12. Feldobunk először egy 20 forintost és egy 50 forintost egyszerre, majd két 10 forintost. Mennyi az egyes esetekben a valószínűsége annak, hogy mindkettő érmén fej lesz, mindkettőn írás lesz, illetve az egyiken fej, a másikon írás lesz?
Megoldás:

Az első esetben a következő lehet a dobás kimenetele:

  20 Ft-os50 Ft-os
 FEJFEJ
 FEJÍRÁS
 ÍRÁSFEJ
 ÍRÁSÍRÁS

A négy lehetséges esetből a FEJ-FEJ, illetve az ÍRÁS-ÍRÁS egy-egy esetben, a FEJ-ÍRÁS két esetben jön létre. A keresett valószínűségek tehát: P(FF) = P(ÍÍ) = 0,25 és P(FÍ) = 0,5.

A második esetben az egyik 10 forintost megjelölve ugyanazt a feladatot kapjuk, mint az első esetben. A valószínűségek: P(FF) = P(ÍÍ) = 0,25 és P(FÍ) = 0,5.


13. Karesz pénztárcájában 5 db 20 Ft-os van. Édesanyja betett a húszasok mellé néhány 10 Ft-ost is. Hány db tízest kapott Karesz, ha ezek után a pénztárcájából találomra kiválasztott érme 0,8 valószínűséggel 10 Ft-os?

Megoldás:

Ha édesanyja x db 10 Ft-ost tesz a pénztárcába, akkor x + 5 db érem lesz benne.
Így P(10-est választunk) = innen x = 20, tehát Karesz édesanyja 20 db 10 Ft-ost tett a pénztárcába.

14. Vettünk öt darab egyforma Blend-a-med Complete és egy Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrémet. A szatyorban kicsúsztak a dobozukból. Hazaérve találomra beletettünk mindegyik dobozba egy-egy tubus fogkrémet.

  1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindegyik dobozban a feliratnak megfelelő fogkrém van?
  2. Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan öt dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém?
  3. Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan négy dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém?

Megoldás:

  1. Ha a Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrém a saját dobozába kerül, akkor a többi is a feliratnak megfelelő helyen lesz. Ha a Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrém nem kerül a saját dobozába, akkor a többi sem mind, hiszen az egyik Blend-a-med fogkrém a Blend-a-med Soda Bicarbonate dobozába kerül. Tehát annak a valószínűsége, hogy mindegyik dobozban a feliratnak megfelelő fogkrém van, megegyezik annak a valószínűségével, hogy a Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrém a saját dobozában van, ez pedig .
  2. Ha pontosan öt dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém, akkor már csak egy doboz és egy fogkrém maradt, így az utolsó fogkrémet csak a helyére tudjuk tenni. Vagyis 0 annak a valószínűsége, hogy pontosan öt dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém.
  3. Ha a Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrém a saját dobozába kerül, akkor a többi is a feliratnak megfelelő helyen lesz, ezért ez nem lehet a helyén, hanem Blend-a-med-es dobozban van. Ekkor egy tubus Blend-a-med nincs jó helyen, a többi igen. Így annak a valószínűsége, hogy pontosan négy dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém, megegyezik annak a valószínűségével, hogy a Blend-a-med Soda Bicarbonate nincs a helyén, ez pedig .


15. A virágoskertben tavasszal háromféle tulipán (piros, sárga, rózsaszín) és kétféle nárcisz (fehér és sárga) nyílik egyszerre. A szobában a váza mellett egy kosárkában mindig van öt cédula, a következő feliratokkal: piros tulipán, sárga tulipán, rózsaszín tulipán, fehér nárcisz, sárga nárcisz. Mama minden nap egy cédula kihúzásával dönti el, melyikből szedjen a vázába. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két egymást követő napon

  1. sárga nárciszt;
  2. ugyanolyan virágot;
  3. tulipánt szed?

Megoldás:

  1. Mama első nap öt cédulából húz, a sárga nárcisz valószínűsége . Másnap szintén öt cédulából húz, a sárga nárcisz valószínűsége ismét . Így két egymást követő napon a sárga nárcisz valószínűsége: .
  2. Ha a két napon ugyanolyan virágot szed, akkor a második napi húzásnál ugyanazt a cédulát kell kihúzni, amit első nap. Egy adott cédula kihúzásának a valószínűsége . Tehát annak a valószínűsége, hogy két egymást követő napon ugyanolyan virágot szed mama a vázába .
  3. Az ötféle virágból három tulipán, így annak a valószínűsége, hogy mama tulipános cédulát húz . A második napon is ugyanazokból a cédulákból húz, így két egymást követő napon a tulipán valószínűsége: .


  1. rész   2. rész   3. rész   4. rész   5. rész   6. rész   7. rész

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley