KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Csatár Katalin - Harró Ágota - Hegyi Györgyné - Lövey Éva - Morvai Éva - Széplaki Györgyné - Ratkó Éva:

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS FELADATOK Kezdőknek

4. rész

  1. rész   2. rész   3 rész   4. rész   5. rész   6. rész   7. rész

31. Egy asztalitenisz bajnokság döntőjébe három tanuló jutott be: Dani, Csaba és András. Tudjuk, hogy Dani nyerési esélye fele Csabáénak, Csaba nyerési esélye viszont háromszor akkora, mint Andrásé. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a versenyt
a.   Dani       b.   András vagy Csaba nyeri?

Megoldás:

András nyerési esélye : pP(A) = p
Csaba nyerési esélye  : 3pP(C) = 3p
Dani nyerési esélye     : pP(D) = p
A három esemény közül valamelyik biztosan bekövetkezik, ezért azok valószínűségének összege 1.
p+ 3p + p = 1    innen p = ,    ekkor 3p = és p = .
a.   Tehát P(D) =       b.   P(A vagy C) = .

32. Egy sakkversenyen Dezső, Feri, Anikó, Juli és Lilla vesz részt. A nyerés esélye nemenként azonos, de minden fiú kétszer esélyesebb a nyerésre, mint bármelyik lány. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a versenyt
a.   Feri nyeri,       b.   Dezső vagy Anikó nyeri,       c.   lány nyeri?

Megoldás:

Anikó, Juli és Lilla nyerési esélye azonos:
P(A) = P(J) = P(L) = p
Dezső és Feri nyerési esélye is azonos, és kétszer akkora, mint a lányoké:
P(D) = P(F) = 2p.
A felsorolt öt esemény közül valamelyik biztosan bekövetkezik, tehát ezek valószínűségének összege 1.
3 × p + 2 × 2p = 1 innen p =
a.   P(F) = 2p =         b.   P(D vagy A) =
c.   P(A vagy J vagy L) = 3 × .

33. Hányféle három hangból álló dallam-motívum készíthető, ha az ötvonalas kottapapíron a hangjegyeket csak a vonalra illetve azok közé helyezhetjük el és a dallam ritmusát nem vesszük figyelembe? Mekkora a valószínűsége annak, hogy a három hangjegy különböző vonalra kerül?

Megoldás:

Az első kottafejet 9 helyre, a másodikat is, és a harmadikat is 9 helyre tehetjük.
Ez összesen 93 lehetőség.
Ahhoz, hogy a kottafejek különböző vonalra kerüljenek, az elsőt 5, a másodikat 4, a harmadikat 3 helyre tehetjük. Ez összesen 5 × 4 × 3 = 60 eset.
A keresett valószínűség: .

34. A dominón 0-tól 9-ig lehetnek pöttyök (pontok). Egy dominó készletben minden lehetséges páros előfordul.

  1. Hány darabból áll a teljes dominó készlet?
  2. Hányféleképpen lehet közülük kiválasztani kettőt úgy, hogy azok a játék szabályai szerint egymáshoz illeszthetők legyenek?
  3. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a b. szerint kiválasztott párosok között van 0 pontú dominó?

Megoldás:

  1. Egy dominónak két lapja van, melyek mindegyikén 0-tól 9-ig lehetnek pontok. Egy lap esetén ez 10 különböző eset. Ha a 10 különböző lap mindegyike együtt szerepel a dominókon egy másik, tőle különböző pontú lappal, akkor féle dominót kapunk. Ehhez adódnak azok az esetek, amikor a dominónak mindkét lapja azonos pontú, ez még 10 eset. Összesen tehát 55 db dominóból áll a teljes készlet.

  2. A jó páros kiválasztásakor külön vizsgáljuk azokat az eseteket, amikor a húzott dominók között van dupla, (mindkét lapja azonos) illetve azokat, amikor nincs dupla. Először összeszámoljuk az eseteket úgy, mintha számítana, hogy milyen sorrendben választjuk ki a két dominót, és a kapott számot utána osztjuk kettővel, hiszen valójában nem számít a sorrend.
    1. a)Ha elsőként dupla dominót húzunk - amit 10-féleképpen tehetünk meg- akkor másodikként ezekhez csak 9-félét húzhatunk, ez összesen 10 × 9 = 90 eset.
      b)Ugyanígy 90 olyan eset van, amikor a 2. dominó dupla.
    2. Ha első húzásnál nem húzunk duplát, akkor 55 -10 = 45-ből választhatunk. A második húzásnál pedig a különböző lapú dominó egyik lapjához is 8 féle, másik lapjához is 8 féle, összesen 16 féle dominó választható. Például az |1,2| dominóhoz jöhet egyrészt az |1,0|; |1,3|; |1,4|; |1,5|; |1,6|; |1,7|; |1,8|; |1,9|, másrészt a |2,0|; |2,3|; |2,4|; |2,5|; |2,6|; |2,7|; |2,8|; |2,9|.

    Ekkor 45 × 16 = 720 féle húzás lehetséges. A három együtt 90 + 90 + 720 = 900 eset. tehát összesen 900/2 = 450 esetben kaphatunk a feltételeknek megfelelő párost.

  3. Ha az első kihúzott dominó |A,B|, és például A 0 pontú, akkor B 10 féle lehet. Ezekhez másodszorra az első dominó A lapjához 9 félét választhatunk, ez így összesen 10 × 9 = 90 . De itt is figyelembe vettük a húzások sorrendjét, ezért valójában 90:2 = 45 lehetőség van. Az első dominóhoz választhatunk még olyan dominót is, amelyek egyik lapja B-vel egyezik meg . Ennél az esetnél a |0,0| dupla dominót nem kell számolni, mert az nem ad új párost. Így 9 féle laphoz 9 félét (mert a 0-t tartalmazó dominókat szintén már összeszámoltuk, gy azt nem vesszük bele az esetek közé) húzhatunk. Például a |0,1| dominóhoz másodszorra az |1,1|; |1,2|; |1,3|; |1,4|; |1,5|; |1,6|; |1,7|; |1,8|; |1,9| dominókat. Ez 9 × 9 = 81 eset.
    A feladat c. feltételének megfelelő párosok száma összesen: 45 + 81 = 126.
    A jó párosok száma pedig összesen a feladat b. része alapján: 450.
    P(a választott párosok között van 0 pontú) = .

35.

Egy üzletben a kiárusításkor egy nagy kétrekeszes ládába öntik az egyforma méretű férfi zoknikat. A zoknik nincsenek összepárosítva és legfeljebb csak színükben különböznek, ezért nap végére teljesen összekeverednek. Az egyik rekeszben 60 sötétkék, 37 drapp és 51 fekete, a másik rekeszben 40 sötétkék, 63 drapp és 49 fekete zokni van. Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindkét rekeszből egyet-egyet kivéve, egyforma a két zokni színe?

Megoldás:

A különböző rekeszekből való húzások független kísérletek. A két sötétkék, a két drapp és a két fekete zokni húzása egymást kizáró események. Az egyik rekeszben összesen 148 zokni van, a másikban 152, ezért a keresett valószínűség
A valószínűség 32,14%.


36.

A könyvespolc alsó polcáról a kétéves Pisti leszedte a könyveket, majd "saját ízlése szerint" visszarakta mind a 25-öt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a köztük levő három idegen nyelvű könyv egymás mellé került?

Megoldás:

Tételezzük fel, hogy a polcra csupa különböző könyvet tettek, így 25! azok lehetséges sorrendjeinek száma.
A kedvező esetek összeszámlálásánál átmenetileg tegyük fel, hogy a három idegen nyelvű könyvet összekötöttük, és egyetlen csomagként tesszük a polcra. Így 22 db könyvet és az előbb említett csomagot kell a polcra tennünk. Ezt 23!-féleképpen tehetjük meg. Ha a csomagot kibontjuk, a benne lévő három idegen nyelvű könyvet 3! féleképpen cserélgethetjük. A polcon levő 23! féle sorrend mindegyikéhez 3! féle belső cserelehetőség tartozik, ezért a kedvező kimenetelű esetek száma 23!3!
P(A = a három idegen nyelvű könyv egymás mellett van) =
Tehát 1% a valószínűsége, hogy a visszarakáskor az idegen nyelvű könyvek egymás mellé kerülnek.


37.

Öt pénzérme feldobásakor mennyi a valószínűsége, hogy pontosan három érmén a fej lesz felül?

Megoldás:

Minden érme feldobásának kétféle kimenetele lehet. Az egyes érmék feldobása független a többitől, így az öt érmén kialakuló összes lehetőségek száma 25.
Ha az öt érme közül 3 mutat fejet, akkor ez összesen féleképpen fordulhat elő, hiszen az érmék eltérő sorrendje nem számít különböző kimenetelnek.
A keresett valószínűség:
P(A=3 érmén fej van)=
Tehát 31,25% valószínűséggel lesz az öt közül három érmén a fej felül.


38.

Tételezzük fel, hogy egy gyermek születésekor ugyanakkora valószínűséggel lesz a csecsemő fiú illetve lány. Tudjuk, hogy egy családban öt különböző életkorú testvér közül a legidősebb gyermek lány.

  1. Mekkora annak a valószínűsége, hogy mind az öt gyermek lány?
  2. Mekkora annak a valószínűsége, hogy két lány és három fiú van a családban?
  3. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a középső gyermek fiú?

Megoldás:

Az első gyermek lány, a másik négy gyermek neme kétféle lehet egymástól függetlenül.
Az összes lehetőség 24.

a.   Egyetlen esetben lesz mind az öt gyermek lány.
      P(A=öt leány, ha az első lány)= =0,0625
P(A)=6,25%
b.   A négy kisebb gyermek egyike lány, a többi fiú. Ez 4 kedvező eset.
      P(B=2lány, 3fiú, ha az első lány)= =0,25
P(B)=25%
c.   Az első gyermek lány, a harmadik fiú, a többi három vagy fiú vagy lány. Ez 23 eset.
      P(C=első lány, harmadik fiú)= =0,5
P(C)=50%
Az eredmény mutatja, hogy egy gyermek neme nem függ a többiekétől.


39.

A BKV-jegyen 3×3-as négyzetrácsban 9 mezőt találunk 1-től 9-ig számozva. A kilenc szám közül hármat lyukasztott az automata. Mennyi a valószínűsége annak, hogy köztük van az 1-es szám?

Megoldás:

A lyukasztáskor a számok sorredjére nem kell tekintettel lennünk, így a háromlyukú számkombinációk száma összesen .
Ha az 1-es a kilyukasztott számok között van, akkor a hiányzó két szám csak a többi nyolc szám közül lehet, így a kedvező esetek száma .
           P(A = az 1-est kilyukasztottuk)= .
Tehát kb. 33,3% valószínűséggel lesz az 1-es a három kilyukasztott szám között.


40.

Az ötös lottón 90 számból választanak 5-öt a szelvények kitöltői. Hányszor nagyobb a valószínűsége egy négytalálatos szelvénynek, mint az öttalálatosnak?

Megoldás:

A lottószelvény kitöltésénél a kiválasztott számok sorrendjére nem kell tekintettel lennünk, ezért az összes kitöltési lehetőségek száma: . Ezek között egyetlen öttalálatos van, így az öttalálatos szelvény valószínűsége:
           P(A = öttalálatos a lottón)= =0,000000023.
Az ötös lottón akkor érünk el négytalálatost, ha az 5 kihúzott szám közül pontosan 4 a mi számaink közül való, egy pedig biztosan nem azok közül van, vagyis az általunk meg nem jelölt 85 szám valamelyike.
A kedvező esetek száma , mivel a választások egymástól függetlenek.
A négytalálatos szelvény valószínűsége:
           P(B = négytalálatos a lottón)= =0,00000967.

Az esélyek összehasonlítása:
Tehát 425-ször valószínűbb az ötös lottón négy találatot elérni, mint ötöt.

41.

Az iskolai tollaslabda bajnokság rendezői 12 palack szénsavas és 10 palack szénsavmentes ásványvizet vittek a pihenőhelyre. A páros mérkőzések első szünetében a négy versenyzőnek felbontottak egy-egy palackot anélkül, hogy megnézték volna a címkéket. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 2 szénsavas és 2 szénsavmentes palackot nyitottak ki?

Megoldás:

A lehetséges esetek száma .
A kedvező esetekben két palackot választottak a 12 közül és kettőt a 10 közül egymástól függetlenül. Ez eset.
P(A=két-két palack a 12+10 közül)= = 0,406            P(A) 40,6%
A keresett valószínűség 40,6%.


42.

Töhötöm elvesztette Budapesten lakó barátja telefonszámát. Arra biztosan emlékszik, hogy 2-essel kezdődik, pontosan 4 darab 3-as van benne és nincs a számjegyei között 9-es. Mennyi a valószínűsége annak, hogy már az első próbálkozása sikerrel jár, és fel tudja hívni a barátját?

Megoldás:

A hétjegyű telefonszámból az elsőt biztosan tudja Töhötöm. Az ismeretlen hat számjegy közül 4 db 3-as van, és két számjegyről nem tudunk biztosat.

  1. ha a hiányzó két számjegy egyforma, akkor ezek 8 féle szám közül kerülhetnek ki, hiszen az ismeretlen számjegy sem, 9-es sem 3-as nem lehet. A lehetséges próbálkozások száma , mert 6 hely közül kell kiválasztani a két ismeretlen egyforma számjegy helyét.
  2. ha a hiányzó két számjegy különböző, akkor azokat féleképpen választhatja meg Töhötöm, majd a kiválasztás után a négy egyforma és két különböző számjegyet \(\displaystyle {6!\over4!}\) féle sorrendbe teheti. Tehát ekkor a próbálkozások száma
    Az a. és b. lehetőségek egymást kizáró eseményeket írnak le, így összegük adja az összes lehetséges próbálkozások számát. A kedvező esetek száma 1, hiszen csak egy telefonszámon érheti el Töhötöm a barátját.
    A keresett valószínűség:
               P(A = sikeres hívás)= .
    Tehát kb. 0,1% a valószínűsége annak, hogy az első próbálkozásra sikeres lesz a hívás.


43.

Egy szerencsejáték-automata három hengerén 20-20 kép van:

 I.hengerII.hengerIII.henger
szív311
csillag034
háromszög224
kör244
négyzet770
lóhere637

Egy zseton bedobása után az automata megpörgeti, majd megállítja a hengereket úgy, hogy mindegyiken egy-egy kép válik láthatóvá. 500 nyereményzsetont ad ki a gép, ha három szív látható. 8 zseton a nyeremény bármely másik három egyforma kép esetén.

  1. Mennyi a főnyeremény elérésének valószínűsége egy-egy játékban?
  2. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a nyeremény 8 zseton?

Megoldás:

  1. Az első hengeren a valószínűsége annak, hogy megállás után szív látható, a másik két hengeren pedig . Ezek független események.
       P(A=3 szív)= 0,0003750,04%.
  2. 8 zseton a nyeremény, ha három csillag vagy három háromszög vagy három kör vagy három négyzet vagy három lóhere látható. Ezek egymást kölcsönösen kizáró események.
       P(B=8 zseton a nyeremény)=0+++0+0,0222,2%.
    A főnyeremény elnyerésének 0,04%, a 8 zsetonos nyeremény elérésének 2,2% a valószínűsége.


44.

Egy húszfős diákcsoport hétvégi kirándulásra indult a Nyugati pályaudvarról. Induláskor kiderült, hogy Rendetlen Tóbiás és Feledékeny Fáni elfelejtett diákigazolványt hozni, pedig a csoport minden tagjának kedvezményes jegyet váltottak. A kalauz a vonaton a csoportból három diákot szúrópróbaszerűen ellenőriz. Mennyi a valószínűsége, hogy

  1. Rendetlen Tóbiás köztük van;
  2. mindkét potyautas köztük van;
  3. legalább az egyiküktől kéri a kalauz a diákigazolványt?

Megoldás:

A 20 diákból 3-at szúrópróbaszerű ellenőrzésre féleképpen lehet kiválasztani.

  1. Ha rendetlen Tóbiás az ellenőrzött személyek között van, akkor rajta kívül a többi 19 diák közül még kettőtől kéri el az igazolványt a kalauz. Őket féleképpen lehet kiválasztani.
    A keresett valószínűség:
        P(A = Tóbiást ellenőrzik)=
  2. Ha mindkét potyautas az ellenőrzött személyek között van, akkor rajtuk kívül még egy diákot választ ki a kalauz a többi 18 közül ellenőrzésre. Ezt féleképpen teheti meg. A keresett valószínűség:
        P(B = Tóbiást és Fánit is ellenőrzik)=
  3. Legalább az egyik potyautast ellenőrizni azt jelenti, hogy vagy az egyiket, vagy a másikat, vagy mindkettőjüket ellenőrzik. Ezeken a lehetőségeken kívül még az is előfordulhat, hogy egyikük sincs az ellenőrzöttek között. E négy esemény teljes eseményrendszert alkot, így az első három bekövetkezésének valószínűségét megkaphatjuk, ha a negyedik esemény valószínűségét 1-ből kivonjuk.
    Ha egyiküket sem ellenőrzik, akkor az ellenőrzött személyeket a 18 diáktárs közül választhatja a kalauz féleképpen.
    A kiegészítő esemény valószínűsége:
        P(=sem T-t, sem F-t nem ellenőrzik)=
    A keresett valószínűség:
    P(C = legalább az egyiket)=1
    Tehát Rendetlen Tóbiás ellenőrzésének valószínűsége 15%, mindkettőjüké kb. 1,6%, és hogy legalább az egyiket ellenőrzik, az kb. 28%-os valószínűségű.


45.

Két diák hétvégi forgalomszámlálást vállalt egy olyan útszakaszon, ahol személygépkocsik és gépjárművek közlekednek. Az adatok összesítéséből kiderült, hogy a járművek 25%-a gépjármű, 75%-a személygépkocsi egy-egy hétvégén. Megfigyelték azt is, hogy a személy-gépkocsik kétharmadában csak a vezető ült, a gépjárművek ötödében legalább ketten ültek.
Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy hasonló hétvégi napon ezen az útszakaszon elhaladó járműben legalább két személy ül?

Megoldás:

Az összes jármű negyede gépjármű, és minden ötödikben legalább ketten ülnek.
Ezért P(A=gépjármű halad el és legalább ketten ülnek benne)=
A személygépkocsik kétharmadában csak a vezető ül, harmadában legalább két ember van.
Az összes jármű háromnegyede személygépkocsi, minden harmadikban legalább ketten ülnek.
Ezért P(B=személygépkocsi halad el és legalább ketten ülnek benne)=
A kétféle jármű elhaladása egymást kizáró esemény, ezért P(AB)=P(A)+P(B)
P(AB=az elhaladó járműben legalább ketten ülnek)= + =
P(AB)=30% a keresett valószínűség.


  1. rész   2. rész   3 rész   4. rész   5. rész   6. rész   7. rész

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley