KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Csatár Katalin - Harró Ágota - Hegyi Györgyné - Lövey Éva - Morvai Éva - Széplaki Györgyné - Ratkó Éva:

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS FELADATOK Kezdőknek

3. rész

  1. rész   2. rész   3. rész   4. rész   5. rész   6. rész   7. rész

16. Leteszünk egymás mellé az asztalra 3-3 kártyát számmal lefelé: pikk hármast, pikk négyest, pikk ötöst, valamint treff hármast, treff négyest és treff ötöst. Húzunk a pikkek közül is egy lapot és a treffek közül is egy lapot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy

  1. a kihúzott számok összege 8;
  2. a két kihúzott szám egyforma;
  3. a pikkek közül húzott szám kisebb, mint a treffek közül húzott;
  4. két különböző prímszámot húzunk?

Megoldás:

Összesen 3×3=9 pár húzható ki úgy, hogy az egyik pikk legyen, a másik treff.

  1. A kihúzott számok összege 8 a következő esetekben lehet:
    3 + 5 vagy 4 + 4 vagy 5 + 3 , azaz három a kilencből, valószínűsége .
  2. A két kihúzott szám egyforma, ha két hármast, két négyest, vagy két ötöst húzunk. Ez három eset a kilencből, valószínűsége .
  3. A pikk kisebb, mint a treff: 3 és 4, 3 és 5, 4 és 5. Ez három eset a kilencből, valószínűsége .
  4. Két különböző prímszámot választunk: 3 és 5 vagy 5 és 3. Ez kettő eset a kilencből, valószínűsége .


17. Leteszünk egymás mellé az asztalra 3-3 kártyát számmal lefelé: pikk hármast, pikk négyest, pikk ötöst, valamint treff hármast, treff négyest és treff ötöst. Húzunk két kártyát közülük. Mely események valószínűsége lehet
a.          b.          c.   40%        d.   0,6        e.  

Megoldás:

Hat különböző kártyából két darabot módon tudunk húzni. Ezek a lehetőségek:

34 35 33 34 35 45 43 44 45
53 54 55 34 35 45    
  1. Olyan eseményt keresünk, aminek valószínűsége , azaz egyetlen esetben fordul elő a tizenötből. Ilyen esemény például, hogy két négyest húzunk.
  2. Olyan eseményt keresünk, aminek valószínűsége , azaz három esetben fordul elő a tizenötből. Ilyen esemény például, hogy a két kihúzott kártyán ugyanolyan szám legyen.
  3. Olyan eseményt keresünk, aminek valószínűsége 40%, vagyis , azaz hat esetben fordul elő a tizenötből. Ilyen esemény például, hogy a két kihúzott kártyán ugyanolyan szín (pikk vagy treff) szerepeljen.
  4. Olyan eseményt keresünk, aminek valószínűsége , azaz kilenc esetben fordul elő a tizenötből. Ilyen esemény például, hogy a két kihúzott kártyán különböző szín (pikk vagy treff) szerepeljen.
  5. Olyan eseményt keresünk, aminek valószínűsége , azaz öt esetben fordul elő a tizenötből. Ilyen esemény például, hogy a kihúzott kártyákon szereplő számok összege nagyobb legyen nyolcnál.


18. Egy téglalap alakú tepsiben sütött nagymama sütit, és amikor tálcára tette, a tetejét és az oldalát bevonta csokikrémmel. Tálaláskor hat vágással (ahogyan a rajz mutatja) tizenhat szeletre vágta. Kiválasztunk belőle találomra egy kockát. Mekkora a valószínűsége annak, hogy

  1. csak egy oldala lesz csokis;
  2. ugyanannyi oldala lesz csokis, mint amennyi nem;
  3. feleannyi csokis oldala lesz, mint amennyi nem;
  4. több csokis oldala lesz, mint nem?

Megoldás:

Az egész süti négy sarkának három-három oldala csokis (három-három pedig nem), a szélén lévő sarkok közötti nyolc szeletnek két-két oldala csokis (négy-négy pedig nem), a középen lévő négy szeletnek egy-egy oldala csokis (öt-öt pedig nem), több szelet nincs.
  1. P(csak egy oldala lesz csokis)=
  2. P(ugyanannyi oldala lesz csokis, mint amennyi nem)=
  3. P(feleannyi csokis oldala lesz, mint amennyi nem)=
  4. P(több csokis oldala lesz, mint nem)= 0


19. Két dobozban számkártyákat helyeztünk el. Az egyikben 3 db-ot, ezekre 1-től 3-ig, a másikban 4 db-ot, ezekre 4-tól 7-ig írtuk az egész számokat. Mindkét dobozból egy-egy kártyát húzunk és belőlük a húzás sorrendjében egy kétjegyű számot készítünk. Állapítsuk meg a következő események valószínűségét!

  1. a szám nem osztható 3-mal
  2. a számjegyek szorzata prímszám
  3. a szám jegyei relatív prímek

Oldjuk meg a feladatot abban az esetben is, ha az első dobozba a 0 számkártyát is betesszük!

Megoldás:

Ha az első dobozból húzott számkártyákhoz párosítjuk a második dobozból húzottakat, akkor 3 × 4= 12 db kétjegyű számot kapunk. Ha a másodikból húzottakhoz párosítjuk az első dobozbeli számokat, akkor 4 × 3 = 12 db számot kapunk. Ez összesen 24 db különböző szám.

  1. Hárommal osztható számok: 15,51,24,42,27,72,36,63.
    Hárommal nem osztható 24 - 8 = 16 db szám.
    P(hárommal nem osztható) = .
  2. A számjegyek szorzata prímszám: 15,51,17,71 számok esetén
    P(számjegyek szorzata prímszám ) .
  3. A szám jegyei relatív prímek:
    14,41,15,51,16,61,17,71,25,52,27,72,34,43,35,53,37,73 számok esetén.
    P(szám jegyei relatív prímek) = .

Ha az első dobozba a 0 számkártyát is betesszük, akkor az előbb számolt 24 db-on kívül még négy új szám készíthető a 40, az 50, a 60 és a 70, így összesen 28 db számunk lesz. A fenti megoldások a következőképpen módosulnak:

  1. A négy szám közül csak a 60 osztható 3-mal, ezért a 3-mal nem nem osztható számok száma : 28 - 9 = 19
    P(hárommal nem osztható ) =
  2. P(számjegyek szorzata prímszám ) =
  3. P(szám jegyei relatív prímek) =


20. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy kétjegyű szám négyzetének utolsó számjegye 6 legyen?

Megoldás:

Összesen 90 darab kétjegyű szám van. Ezek közül azoknak végződik a négyzete 6-ra, amelyeknek utolsó számjegye 4 vagy 6. Ilyenek a 14, 16, 24, 26, ..., 94, 96, vagyis minden tízes csoportban van két megfelelő szám, összesen 2 × 9 = 18 darab. A keresett valószínűség: .

21. Orsiék szombaton kirándulni mennek öten. Mindenkinek két-két szendvics került a közös hátizsákba, összesen négy szalámis és hat májkrémes, egyforma csomagolásban. Mekkora a valószínűsége annak, hogy Orsi két májkrémeset vesz ki magának, ha véletlenszerűen választ?

Megoldás:

10 szendvicsből kell kettőt kivennie, ezt lehetséges módon teheti.
A két májkrémeset csak hat közül választhatja, mégpedig lehetséges módon.
nnak a valószínűsége, hogy két májkrémeset vesz ki magának: .

22. Az osztályba 16 lány és 14 fiú jár. Kedden két egymást követő órán sorsolni fognak egy-egy felelőt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy

  1. mindkét órán lány;
  2. az első órán lány, a másodikon fiú fog felelni?

Megoldás:

A két órán a sorsolások egymástól függetlenek, mindkét esetben 30 gyerek közül kerül ki a felelő.
Annak a valószínűsége, hogy egy alkalommal lányt sorsolnak ki , annak, hogy fiút .

  1. Annak a valószínűsége, hogy mindkét órán lányt sorsolnak ki: .
  2. Annak a valószínűsége, hogy az első órán lányt, a másodikon fiút sorsolnak ki: .


23. Egy autóban három darab kétállású (A vagy B) kapcsolóval meg lehet akadályozni az indítást: csak akkor lehet az autót elindítani, ha mindegyik kapcsoló azonos állásban van. A kapcsolókat tetszőleges helyzetben hagyva mekkora a valószínűsége annak, hogy egy ismeretlen el tudja indítani az autót?

Megoldás:

Mindegyik kapcsolónak két állása van, és ezek egymástól függetlenül működnek. Így a három kapcsoló 23=8 különböző helyzetben lehet.
Elindítani az autót akkor lehet, ha mindegyik kapcsoló A állásban, vagy mindegyik kapcsoló B állásban van. Ez két eset a nyolcból, tehát a valószínűsége .


24. Kovács apuka, három gyermeke: Jani, Elek és Panni közül valamelyik kettőt szeretné elküldeni bevásárolni. Mivel a gyerekek vonakodnak, ezért apuka mind a három nevet felírja egy cédulára, és kihúz közülük két nevet. Mekkora a valószínűsége annak, hogy

  1. két fiú megy,
  2. egy fiú és egy lány,
  3. Panni és Elek megy vásárolni?

Határozzuk meg azt is, hogy egy-egy gyerek nevét mekkora eséllyel húzhatjuk ki!

Megoldás:

A három gyermekből kiválasztható párosok: J,E; J,P; E,P. Ez összesen három elemi esemény.
Az a. szerint számunkra csak az J,E kedvező, így a valószínűség:
P(két fiú)=
A b. szerint kedvező esemény: J,P; és E,P, ez két eset, így a valószínűség
P(egy lány és egy fiú)=
A c. szerint kedvező esemény a P,E , így a valószínűség:
P(Panni és Elek)= .

Az összes eset három különböző párosában egy-egy gyerek kettőben biztosan szerepel. Jani például a fenti felsorolásban az első kettőben, ezért annak a valószínűsége, hogy neki mennie kell . Ugyanez az arány igaz bármelyik gyerekre.

25. Ezen a héten Zsolt és Dani a hetesek az osztályban. Minden nap pénzfeldobással döntik el, hogy melyikük törli le a táblát az órák előtt: ha a fej van felül, akkor Zsolt, ha az írás van felül, akkor Dani.

  1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy mind az öt nap Zsolt törli a táblát?
  2. Mekkora a valószínűsége annak, hogy Zsolt egy nap, Dani négy nap törli a táblát?

Megoldás:

Mind az öt nap kétféle eredménye lehet a pénzfeldobásnak: írás vagy fej, ezért az egész héten összesen 25=32 különböző táblatörlési rend lehetne.

  1. Ha mind az öt nap Zsolt törli a táblát, akkor a 32-ből csak egy eset lehetséges: minden nap fejet dobtak. Ennek a valószínűsége: .
  2. Ha Zsolt egy nap, Dani négy nap törli a táblát, akkor öt eset lehetséges: az öt nap közül az egyiken dobtak fejet. Ennek a valószínűsége: .


26. Az ábrán látható a Galton deszka rajza és az abba bedobott golyó lehetséges útvonalai. A golyót bármelyik nyíláson is dobjuk be, azt a fából készült ékek az elágazásoknál egyenlő valószínűséggel terelik két irányba.

Galton deszka sematikus rajza Galton deszka rombuszrácsa

Indítsuk a golyókat a felső nyíláson át!

  1. Számítsuk ki, hogy az egyes elágazási pontokhoz mekkora valószínűséggel juthat el a golyó!
  2. Határozzuk meg mind az 1,a 2, a 3, a 4 és az 5 folyosókba való megérkezés valószínűségét!

Megoldás:

  1. Az eszköz tengelyes szimmetriája miatt megállapíthatjuk, hogy
    P(A)=P(B),P(C)=P(E),P(F)=P(I),P(G)=P(H).

    Galton deszka rombuszrács 1/2-ekkel

    Az O pontból indulva az első "döntés" valószínűsége . Ez minden elágazásnál, az előző "döntéstől" függetlenül újra megismétlődik. Ilyenkor az egyes útszakaszok választásának valószínűségét összeszorozzuk.
    Például a C, vagy az E pontba valószínűséggel érkezik a golyó, mert A-ba, illetve B-be is , onnan tovább C-be, illetve E-be is valószínűséggel gurul tovább.

    Akkor viszont, amikor például a golyó a D pontba érkezik, a válaszható utak valószínűsége összeadódik, mivel ide a golyó vagy b,j, vagy j,b, útvonalon érkezhet, tehát A D pontba érkezés valószínűsége:

    Megállapíthatjuk, hogy az egy sorban lévő elágazásokba nem egyenlő valószínűséggel kerülnek a golyók, és egy-egy sorban a megérkezések valószínűségének összege mindig 1.
    Például: P(C )+P(D) +P(E) =
    Így a keresett valószínűségek:

       START   
      A
     B
      
     C
     D
     E
     
    F
     G
     H
     I

  2. Az előző gondolatmenetet folytatva: P(1) = 1/2 × P(F) = 1/16;     P(2) = 1/2 × P(F) + 1/2 × P(G) = 1/4;     P(3) = 1/2 × P(G) + 1/2 × P(H) = 3/8;     P(4) = P(2) = 1/4;     P(5) = P(1) = 1/16.


27. Ákos, akit a város parkjának egyik sétánya végén várja a barátnője a rajzon látható útvonalak bármelyikét választva juthat el oda. Mekkora valószínűséggel találkozhat barátnőjével?

Megoldás:

Ákos az X elágazásnál valószínűséggel, az Y elágazásnál valószínűséggel, a Z elágazásnál ismét valószínűséggel dönt. Ahhoz a kijárathoz, ahol a barátnője áll, vagy Y, vagy Z pontból érkezhet. Így annak a valószínűsége, hogy találkozik a barátnőjével:



28. Az első három definíciót zöld színű cédulára, a negyediket és az ötödiket kék színű cédulára írtuk. Mind az öt definíció valamilyen paralelogramma tulajdonságot fogalmaz meg. A cédulákból úgy húzunk ki kettőt, hogy az egyik zöld színű, a másik kék színű legyen. Mekkora annak a valószínűsége, hogy mindkét cédulán egy általános paralelogramma tulajdonságát olvashatjuk?

A "zöld" definíciók:
I. Átlói merőlegesek egymásra
II. Szemközti szögei egyenlők
III. Átlói felezik a szögeket
A "kék" definíciók:
IV. Szögeinek összege 360o
V. Átlói felezik egymást.

Megoldás:

Ha a "zöld" definíciókból választunk és azokhoz párosítjuk egyenként a "kékeket", akkor 3 × 2 = 6 féle pár készíthető, ha fordított sorrendben választunk, akkor is ugyanezek a párok jönnek létre, ezért összesen 6 különböző pár készíthető a kétféle színű cédulára írt öt definícióból.
Ezek közül általános paralelogramma tulajdonság a II - IV és a II - V párokon olvasható.
Tehát P(mindkét cédulán általános paralelogramma tulajdonság van)= 2/6=1/3.

29. Kartonpapírból kivágunk három különböző háromszöget. Válasszunk ki találomra ezek közül két háromszöget! Mekkora a valószínűsége annak, hogy a kiválasztottakból egy négyszöget tudunk kirakni úgy, hogy azokat egy-egy oldaluknál összeillesztjük?

A három különböző háromszögből háromféleképpen választhatunk ki párokat:
I - II,        I - III,        II - III.
A párokból akkor tudunk négyszöget kirakni, ha a két háromszögnek legalább egy-egy ugyanakkora oldala van.

P(a háromszögekből ki lehet rakni négyszöget) = .

30. Egy 2 cm, egy 3 cm, egy 5 cm és egy 6 cm hosszúságú szakaszból találomra kiválasztunk hármat. Mekkora a valószínűsége annak, hogy azokból háromszöget tudunk szerkeszteni?

Megoldás:

Összesen négy különböző számhármast választhatunk, mert a négy szakasz közül egyet mindig ki kell hagyni, és ezt négyféleképpen tehetjük meg. A kiválasztott szakaszokból akkor lehet háromszöget szerkeszteni, ha azok hossza:

 3 cm,5 cm,6cm,mert 3 + 5 > 6
vagy2 cm,5cm,6cm,mert 2 + 5 > 6
Így P(a kiválasztott szakaszokból háromszög szerkeszthető)= .

  1. rész   2. rész   3. rész   4. rész   5. rész   6. rész   7. rész

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley