Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 566. feladat (2012. szeptember)

A. 566. (a) Bizonyítsuk be, hogy ha n\ge2, és az a_2,a_3,\ldots,a_n pozitív valós számok szorzata 1, akkor


{(1+a_2)}^2{(1+a_3)}^3\ldots{(1+a_n)}^n > \frac{n^n{(n-1)}^{n-1}}{4^{n-1}}.

(b) Mutassunk példát olyan n\ge2 egészre és a_2,a_3,\ldots,a_n pozitív valós számokra, amelyek szorzata 1, és


{(1+a_2)}^2{(1+a_3)}^3\ldots{(1+a_n)}^n < 1{,}000\;001 \cdot
\frac{n^n{(n-1)}^{n-1}}{4^{n-1}}.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. (a) Minden 2\lek\len-re az (1+ak)k tényezőt összehasonlítjuk ak2-nel.

Ha k\ge3, akkor a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az 1/(k-2) és ak/2 számokra a k-2 és 2 súlyokkal alkalmazva,


\frac{1+a_k}{k} =
\frac{(k-2)\cdot\frac1{k-2}+2\cdot\frac{a_k}{2}}{k} \ge
\left(\frac{1}{k-2}\right)^{(k-2)/k}\cdot\left(\frac{a_k}{2}\right)^{2/k} =
\left(\frac{a_k^2}{4(k-2)^{k-2}}\right)^{1/k}


(1+a_k)^k \ge \frac{k^k}{4(k-2)^{k-2}}a_k^2.  (1)

Itt akkor áll egyenlőség, ha 1/(k-2)=ak/2, vagyis a_k=\frac2{k-2}.

A fenti becsléseket összeszorozva,


(1+a_2)^2 (1+a_3)^3 \ldots (1+a_n)^n =
(1+a_2)^2 \prod_{k=3}^n (1+a_k)^k \ge
(1+a_2)^2 \prod_{k=3}^n \left(\frac{k^k}{4(k-2)^{k-2}}a_k^2\right) =


= \frac{(1+a_2)^2}{a_2^2} \cdot
\Big(\underbrace{a_2a_3\ldots a_n}_{1}\Big)^2 \cdot 
\prod_{k=3}^n \frac{k^k}{4(k-2)^{k-2}} =
\frac{(1+a_2)^2}{a_2^2} \cdot \frac{n^n(n-1)^{n-1}}{4^{n-2}\cdot1^1\cdot2^2} =
\frac{(1+a_2)^2}{a_2^2} \cdot \frac{n^n(n-1)^{n-1}}{4^{n-1}}.
(2)

Ezután a triviális (1+a2)2>a22 egyenlőtlenséget alkalmazva kapjuk az állítást.

(b) A (2) egyenlőtlenségben egyenlőség áll, ha a_k=\frac2{k-2} minden k\ge3-ra; ekkor az a_2a_3\ldots a_n=1 kényszerfeltétel szerint a_2=\frac1{a_3\ldots a_n}=
\prod_{k=3}^n\frac{k-2}2=\frac{(n-2)!}{2^{n-2}}.

Könnyű ellenőrizni, hogy például n=16 esetén a_2=\frac{14!}{2^{14}}=5320940.625 és \frac{(1+a_2)^2}{a_2^2} = \left(1+\frac1{a_2}\right)^2<1,000\;001, így


(1+a_2)^2 (1+a_3)^3 \ldots (1+a_n)^n =
\frac{(1+a_2)^2}{a_2^2} \cdot \frac{n^n(n-1)^{n-1}}{4^{n-1}} <
1{,}000\;001 \cdot \frac{n^n(n-1)^{n-1}}{4^{n-1}}

is teljesül.

Egy lehetséges példa tehát:


n=16, \quad
(a_2,a_3,\ldots,a_{16})=
\left(\frac{14!}{2^{14}},\frac21,\frac22,\frac23,\ldots,\frac2{14}\right).


Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Herczeg József, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Williams Kada.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai