Az A. 631. feladat (2014. december)

A. 631. Legyen \(\displaystyle k\ge1\), és legyenek \(\displaystyle I_1,\ldots,I_k\) a \(\displaystyle [0, 1]\) intervallum el nem fajuló részintervallumai. Bizonyítsuk, hogy

\(\displaystyle \sum \frac1{|I_i\cup I_j|} \ge k^2, \)

ahol az összegzés az olyan \(\displaystyle (i, j)\) indexpárokra vonatkozik, ahol \(\displaystyle I_i\) és \(\displaystyle I_j\) nem diszjunkt.

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2014

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f_i\) a következő valós függvény a \(\displaystyle [0,1]\) intervallumon (\(\displaystyle I_i\) indikátorfüggvénye normalizálva):

\(\displaystyle f_i(x)=\left\{{{1\over|I_i|}\hbox{ ha }x\in I_i\atop0\hbox{ egyébként.}}\right.\)

Itt \(\displaystyle \int_0^1f_i(x)dx=1\), így

\(\displaystyle \int_0^1\sum_if_i(x)dx=k.\)

Emiatt

\(\displaystyle \int_0^1\left(\sum_if_i(x)\right)^2dx\ge k^2\)

(Cauchy-Schwarz). Beszorozva azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sum_{i,j}\int_0^1f_i(x)f_j(x)dx\ge k^2.\)

Innen már csak azt kell észrevenni, hogy ha \(\displaystyle I_i\) és \(\displaystyle I_j\) diszjunktak, akkor \(\displaystyle \int_0^1f_i(x)f_j(x)dx=0\), ha meg nem diszjunktak, akkor

\(\displaystyle \int_0^1f_i(x)f_j(x)dx={|I_i\cap I_j|\over|I_i||I_j|}\le{1\over|I_i\cup I_j|}.\)

Megjegyzés. A feladat Pach Jánostól és Tardos Gábortól származik.

A fenti megoldást a Schweitzer-versenybizottság bocsátotta rendelkezésünkre. A Schweitzer-verseny eredménye, feladatai és a feladatok megoldásai megtalálhatók a verseny honlapján: http://www.bolyai.hu/schweitzer.htm

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Williams Kada.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai