Az A. 905. feladat (2025. április)

A. 905. Nevezzünk egy \(\displaystyle n_1\), \(\displaystyle n_2\), \(\displaystyle \ldots\) pozitív egész számokból álló sorozatot nem lassulónak, ha szigorúan monoton nő és \(\displaystyle n_{k+1}-n_k\le n_{k+2}-n_{k+1}\) teljesül minden pozitív egész \(\displaystyle k\)-ra. Nevezzünk továbbá egy \(\displaystyle n_1\), \(\displaystyle n_2\), \(\displaystyle \ldots\) pozitív egész számokból álló sorozatot konvergencia-biztosítónak, ha szigorúan monoton nő, és a következő feltétel teljesül: ha \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\) olyan valós számokból álló sorozat, amelyre minden \(\displaystyle m\) pozitív egész szám esetén az \(\displaystyle a_{m+n_1}\), \(\displaystyle a_{m+n_2}\), \(\displaystyle a_{m+n_3}\), \(\displaystyle \ldots\) részsorozat konvergens és 0-hoz tart, akkor az \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\) sorozat is konvergens és \(\displaystyle 0\)-hoz tart.

Bizonyítsuk be, hogy egy \(\displaystyle n_1\), \(\displaystyle n_2\), \(\displaystyle \ldots\) nem lassuló sorozat akkor és csak akkor konvergencia biztosító, ha az \(\displaystyle n_2-n_1\), \(\displaystyle n_3-n_2\), \(\displaystyle \ldots\) sorozat felülről korlátos.

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT.

Először belátjuk, hogy ha \(\displaystyle n_{i+1}-n_i\) nem korlátos felülről, akkor nem konvergencia-biztosító. Ehhez konstruálni fogunk egy olyan 0-1 sorozatot, amely végtelen sok 1-est tartalmaz, azaz nem tart 0-hoz, de mindegyik rögzített pozitív egész \(\displaystyle m\)-re az \(\displaystyle a_{m+n_i}\) részsorozat valahonnét kezdve 0, azaz 0-hoz tart. Ehhez a következő észrevételt fogjuk használni: bármely \(\displaystyle m<k\) esetén az \(\displaystyle m+n_i\) és \(\displaystyle k+n_i\) sorozatoknak csak véges sok közös tagja van. Valóban, ha \(\displaystyle m+n_i=k+n_j\), akkor \(\displaystyle n_i-n_j=k-m\). Mivel \(\displaystyle n_{i+1}-n_i\) nem csökkenő és nem korlátos felülről, ezért létezik olyan \(\displaystyle N\) szám, hogy ha \(\displaystyle i>N\), akkor \(\displaystyle n_{i+1}-n_i>k-m\). Azonban ezt azt jelenti, hogy \(\displaystyle n_i-n_j=k-m\) teljesülése esetén \(\displaystyle i,j\le {N+1}\), azaz \(\displaystyle i\)-nek legfeljebb \(\displaystyle N+1\) darab értéke esetén, tehát legfeljebb ennyi közös eleme lehet a két sorozatnak. Ezután egyszerűen definiálható a sorozat rekurzív módon: legyen \(\displaystyle a_{1+n_1}=1\), és legyen \(\displaystyle a_{1+n_i}=0\), ha \(\displaystyle i\ge 2\). Ha az \(\displaystyle a_{j+n_i}\) értékeket már definiáltuk \(\displaystyle j<m\) esetén, definiáljuk \(\displaystyle j=m\)-re: tekintsük az \(\displaystyle a_{m+n_i}\) tagok közül azokat, amelyeket még nem definiáltunk; a megfigyelésünk alapján végés sok kivételével a többi még nincs definiálva: a nem definiáltak közül az első legyen 1, a többi pedig legyen 0. Azokat az \(\displaystyle a_i\) tagokat, melyeket semelyik \(\displaystyle m\) pozitív egész esetén nem definiáltunk, definiáljuk 0-nak (mivel legfeljebb \(\displaystyle n_1\) darab ilyen tag van, igazából tetszőlegesen is definálhatnánk ezeket). Könnyen látható, hogy az így definiált sorozat kielégíti a két általálunk támasztott feltételt, így készen vagyunk.

Ezután lássuk be, hogy ha \(\displaystyle n_{i+1}-n_i\) korlátos felülről, akkor konvergencia biztosító. A szemléletes gondolatmenet a következő: könnyű látni, hogy ebben az esetben az \(\displaystyle n_i\) sorozat valahonnét kezdve számtani, legyen a differenciája \(\displaystyle d\). Ekkor az \(\displaystyle 1+n_i\), \(\displaystyle 2+n_i\),..., \(\displaystyle d+n_i\) sorozatok véges sok kivétellel lefedik az összes pozitív egészt. Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle a_{1+n_i}\), \(\displaystyle a_{2+n_i}\),..., \(\displaystyle a_{d+n_i}\) részsorozatok véges sok kivétellel lefedik az \(\displaystyle a_i\) sorozatot, és mivel mind 0-hoz tartanak, ezért \(\displaystyle a_i\) is 0-hoz tart. Most lássuk ezt a gondolatmenetet precízebben:

Legyen \(\displaystyle d\) az \(\displaystyle a_{i+1}-a_i\) sorozat legkisebb felső korlátja. Mivel az \(\displaystyle n_{i+1}-n_i\) sorozat felülről korlátos és egészekből áll, ezért létezik \(\displaystyle N\), melyre \(\displaystyle i\ge N\) esetén \(\displaystyle a_{i+1}-a_i=d\). Mivel minden rögzített \(\displaystyle m\) pozitív egész esetén az \(\displaystyle a_{m+n_i}\) sorozat 0-hoz tart, ezért tetszőleges \(\displaystyle \varepsilon>0\) esetén található olyan \(\displaystyle N_m\) küszöbindex, melyre \(\displaystyle i>N_m\) esetén \(\displaystyle |a_{m+n_i}|<\varepsilon\). Legyen \(\displaystyle K=\max\{n_N,1+n_{N_1},2+n_{N_2},...,d+n_{N_d}\}\). Ha \(\displaystyle j>K\), akkor \(\displaystyle k\ge n_N\) miatt \(\displaystyle j\) felírható \(\displaystyle r+kd+n_N=r+n_{k+N}\) alakban, ahol \(\displaystyle 1\le r\le d\) és \(\displaystyle k\) nemnegatív egész. Mivel \(\displaystyle j=r+n_{k+N}>N\ge r+n_{N_r}\), ezért \(\displaystyle k+N>N_r\) (hiszen az \(\displaystyle n_i\) sorozat szigorúan monoton növő), így Nr definíciója alapján \(\displaystyle |a_j|<\varepsilon\). Tehát ha \(\displaystyle j>K\), akkor \(\displaystyle |a_j|<\varepsilon\), és ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Aravin Peter, Balla Ignác , Bodor Mátyás, Czanik Pál, Forrai Boldizsár, Gyenes Károly, Holló Martin, Kocsis 827 Péter, Minh Hoang Tran, Sánta Gergely Péter, Szakács Ábel, Tianyue DAI, Tóth László Pál, Varga Boldizsár, Vödrös Dániel László, Xiaoyi Mo.
5 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai