Az A. 916. feladat (2025. október)

A. 916. Legyen \(\displaystyle a\geq3\) egész szám, és legyen \(\displaystyle f(n)=a^n-1\) minden \(\displaystyle n\) pozitív egészre. Jelölje \(\displaystyle f^{(k)}\) az \(\displaystyle f\) függvény \(\displaystyle k\)-szoros iteráltját, tehát \(\displaystyle f^{(1)}(n)=f(n)\), és \(\displaystyle f^{(k+1)}(n)=f\big(f^{(k)}(n)\big)\), ha \(\displaystyle k\geq 1\).

a) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle K\) pozitív egészhez létezik olyan \(\displaystyle M\) pozitív egész szám, hogy minden \(\displaystyle 1\leq k\leq K\) egész esetén \(\displaystyle f^{(k)}(M)\) pontosan akkor osztható \(\displaystyle M\)-mel, ha \(\displaystyle k\) osztható \(\displaystyle 2025\)-tel.

b) Létezik-e olyan \(\displaystyle N\) pozitív egész szám, amelyre minden \(\displaystyle k\) pozitív egész esetén \(\displaystyle f^{(k)}(N)\) pontosan akkor osztható \(\displaystyle N\)-nel, ha \(\displaystyle k\) osztható \(\displaystyle 2025\)-tel?

Javasolta: Varga Boldizsár (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bodor Mátyás, Gyenes Károly.
6 pontot kapott:	Forrai Boldizsár, Morvai Várkony Albert, Vigh 279 Zalán.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. októberi matematika feladatai