 |
Az A. 917. feladat (2025. november) |
A. 917. Egy komplex számokból álló \(\displaystyle S\) halmazt nevezzünk szimmetrikusnak, ha minden \(\displaystyle S\)-beli elem komplex konjugáltja is \(\displaystyle S\)-beli. Határozzuk meg minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-hez a legnagyobb \(\displaystyle K_n\) pozitív egész számot, amelyhez létezik olyan \(\displaystyle n\)-elemű, szimmetrikus \(\displaystyle S=\{z_1,z_2,\ldots,z_n\}\) halmaz, amelynek a \(\displaystyle 0\) nem eleme, és bármely \(\displaystyle 1\leq k\leq K_n\) egészre
\(\displaystyle z_1^k + z_2^k + \ldots + z_n^k \leq 0. \)
Javasolta: Navid Safaei (Teherán) és Kós Géza (Budapest)
(7 pont)
A beküldési határidő 2025. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A feladat és a megoldás az A. 502. feladat továbbgondolása.
At állítjuk, hogy \(\displaystyle K_n=2n-1\).
Legyen minden \(\displaystyle k\) egészre
\(\displaystyle s_k=r_1^k+\ldots+r_n^k. \)
Először konstruálunk egy olyan szimmetrikus \(\displaystyle S=\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}\) halmazt, amelyre \(\displaystyle {s_1,s_2,\ldots,s_{2n-1}\le0}\); ez a példa mutatja, hogy \(\displaystyle K_n\ge 2n-1\).
Legyen
\(\displaystyle r_j = e^{(2j-1)\pi i/n} =\cos\dfrac{(2j-1)\pi i}{n} +i\sin\dfrac{(2j-1)\pi i}{n} \qquad (j=1,2,\ldots,n), \)
vagyis az \(\displaystyle r_1,r_2,\ldots,r_n\) számok a komplex \(\displaystyle 2n\)-edik egységgyökök közül a páratlan sorszámúak.
Bármilyen egész \(\displaystyle k\)-ra az \(\displaystyle r_1^k,r_2^k,\ldots,r_n^k\) számok egy \(\displaystyle e^{2k\pi i/n}\) hányadosú, körbe záródó mértani sorozatot alkotnak. Ha \(\displaystyle k\) nem osztható \(\displaystyle n\)-nel, akkor a mértani sorozat hányadosa nem \(\displaystyle 1\), és az összeg \(\displaystyle s_k=0\). Ha pedig \(\displaystyle k\) osztható \(\displaystyle n\)-nel, akkor mindegyik \(\displaystyle r_j^k\) értéke \(\displaystyle (-1)^{k/n}\). Ezért
\(\displaystyle s_k = \begin{cases} 0 & \text{ha \(\displaystyle k\not\equiv0\pmod{n}\),} \\ -n & \text{ha \(\displaystyle k\equiv n\pmod{2n}\),} \\ +n & \text{ha \(\displaystyle k\equiv 0\pmod{2n}\).} \\ \end{cases} \)
Tehát \(\displaystyle s_1,s_2,\ldots,s_{2n-1}\) egyike sem pozitív (de \(\displaystyle s_{2n}\) már pozitív).
Most pedig megmutatjuk, hogy \(\displaystyle s_1,s_2,\ldots,s_{2n}\) között biztosan van legalább egy pozitív, ezzel igazoljuk, hogy \(\displaystyle K_n<2n\).
Legyen
\(\displaystyle \prod_{j=1}^n(z-r_j)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\ldots+a_{n-1}z+a_n, \quad a_0=1,\text{ és } a_{n+1}=a_{n+2}=\ldots=0. \)
A Newton-azonosságok, avagy Newton–Girard formulák szerint minden \(\displaystyle N\) pozitív egészre
| \(\displaystyle \sum_{k=1}^N a_{N-k}s_k + Na_N = 0. \) | \(\displaystyle (1) \) |
Két esetet fogunk vizsgálni attól függően, hogy az \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\) számok között van-e negatív.
1. eset: \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\) között van legalább egy negatív.
Legyen \(\displaystyle N\) legkisebb index, amelyre \(\displaystyle a_N<0\). Ekkor \(\displaystyle (1)\) szerint
\(\displaystyle \sum_{k=1}^N a_{N-k}s_k = -Na_N >0, \)
így a baloldalon van legalább egy pozitív \(\displaystyle a_{N-k}s_k\) tag.
A \(\displaystyle N\) minimalitása miatt \(\displaystyle a_{N-k}\ge0\), ezért csak \(\displaystyle s_k>0\) lehet. Itt persze \(\displaystyle 1\le k\le N\le n\); ebben az esetben tehát már \(\displaystyle s_1,\ldots,s_n\) között is van legalább pozitív.
2. eset: \(\displaystyle a_0,a_1,\ldots,a_n\ge0\).
A Viète-formulák miatt \(\displaystyle |a_n|=|r_1\cdots r_n|\ne0\), így a feltétel szerint \(\displaystyle a_n>0\). Továbbá a definíció szerint \(\displaystyle a_{n+1}=a_{n+2}=\dots=0\).
Ha most felírjuk \(\displaystyle (1)\)-et \(\displaystyle N=n\)-re, akkor azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_{n-k}s_k = -na_n < 0, \)
emiatt \(\displaystyle s_1,\ldots,s_n\) között van legalább egy szigorúan negatív.
Legyen \(\displaystyle 1\le\ell\le n\) egy olyan index, amelyre \(\displaystyle s_\ell<0\), és írjuk fel \(\displaystyle (1)\)-et \(\displaystyle N=(n+\ell)\)-re:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n+\ell} a_{n+\ell-k}s_k + (n+\ell)a_{n+\ell} = 0. \)
Ebben az összegben az utolsó tag \(\displaystyle 0\), mert \(\displaystyle a_{n+\ell}=0\). Ezen kívül az összegben szerepel a negatív \(\displaystyle a_ns_\ell\) tag. Ezért biztosan van legalább egy pozitív \(\displaystyle a_{n+\ell-k}s_k\) tag is; mivel \(\displaystyle a_{n+\ell-k}\ge0\), ez csak úgy lehet, ha ebben a tagban \(\displaystyle s_k>0\).
A \(\displaystyle k\) indexre \(\displaystyle 1\le k\le n+\ell\le 2n\), ezzel találtunk egy pozitívat az \(\displaystyle s_1,\ldots,s_{2n}\) számok között.
Statisztika:
Az A. 917. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. novemberi matematika feladatai