Az A. 920. feladat (2025. december)

A. 920. Adott egy nem egyenlő szárú \(\displaystyle ABC\) háromszög, melynek körülírt körét jelöljük \(\displaystyle \Omega\)-val. Legyen \(\displaystyle \omega_A\) az \(\displaystyle A\) csúcshoz tartozó mixtilineáris beírt kör (azaz az a kör, ami érinti az \(\displaystyle AB,AC\) oldalakat és \(\displaystyle \Omega\)-t belülről). Hasonlóan definiáljuk az \(\displaystyle \omega_B,\omega_C\) köröket. Jelölje az \(\displaystyle \omega_A,\omega_B,\omega_C\) körök \(\displaystyle \Omega\)-n lévő érintési pontjait rendre \(\displaystyle T_A,T_B\) és \(\displaystyle T_C\).

Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle \omega_A,\omega_B,\omega_C\) körök Monge-egyenese (azaz a három kör páronként vett külső hasonlósági középpontjain átmenő egyenese) egybeesik az \(\displaystyle AT_CBT_ACT_B\) húrhatszög Pascal-egyenesével (azaz az \(\displaystyle AT_C\cap T_AC\), \(\displaystyle T_CB\cap CT_B\), \(\displaystyle BT_A\cap T_BA\) pontokon átmenő egyenessel).

Javasolta: Sha Jingyuan (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle \omega_B\) és \(\displaystyle \omega_C\) külső hasonlósági pontja a \(\displaystyle T_BT_C\) egyenes és a \(\displaystyle BC\) egyenes metszéspontja. Alkalmazzuk a Monge-tételt erre a két körre és \(\displaystyle \Omega\)-ra: \(\displaystyle T_B\) és \(\displaystyle T_C\) a körülírt kör és a két kör külső hasonlósági pontjai, tehát az egyenesükön rajta van a keresett pont, másrészt rajta van a két kör közös külső érintőjén, amiből az egyik a \(\displaystyle BC\) egyenes.

Azt kell tehát igazolnunk, hogy \(\displaystyle BC\cap T_BT_C\), \(\displaystyle AT_C\cap T_AC\) és \(\displaystyle T_CB\cap CT_B\) egy egyenesen mennek át. Ezek éppen a \(\displaystyle BCT_A\) és a \(\displaystyle T_BT_CA\) háromszögek megfelelő oldalegyeneseinek a metszéspontjai. Így a Desargues-tétel alapján az a bizonyítandó, hogy a \(\displaystyle BT_B\), \(\displaystyle CT_C\) és \(\displaystyle AT_A\) egyenesek egy ponton mennek át. Ehhez alkalmazzuk a Monge-tételt a körülírt körre, a beírt körre és az \(\displaystyle \omega_A\) körre: mivel két hasonlósági pont az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle T_A\), így az őket összekötő egyenes átmegy a beírt és a körülírt kör külső hasonlósági pontján. Mivel ez igaz \(\displaystyle BT_B\) és \(\displaystyle CT_C\)-re is, a feladat állítását igazoltuk.

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bao Nguyen Gia, Bodor Mátyás, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Diaconescu Tashi, Forrai Boldizsár, Gyenes Károly, Li Mingdao, Prohászka Bulcsú, Rajtik Sándor Barnabás, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Szabó 721 Sámuel, Szakács Ábel, Varga 511 Vivien, Vigh 279 Zalán, Vödrös Dániel László, Xiaoyi Mo.
6 pontot kapott:	Ethan Y.Wang, Kis Ágoston.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai