A B. 3927. feladat (2006. szeptember)

B. 3927. Az ABCD tetraéder A csúcsát tükrözzük B-re, B-t C-re, C-t D-re, és D-t az A-ra. Az így kapott pontok legyenek rendre: A', B', C' és D'. Hányszorosa az A'B'C'D' tetraéder térfogata az eredeti ABCD tetraéder térfogatának?

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. október 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Ha az A pontból a B,C,D csúcsokba mutató vektorokat $\b b, \b c$ és $\b d$ jelöli, akkor az A',B',C',D' csúcsokba mutató vektorok rendre $2\b b$ , $2\b c-\b b$ , $2\b d-\b c$ és $-\b d$ lesznek, vagyis

$\ora{D'A'}=2\b b+\b d,\quad \ora{D'B'}=2\b c-\b b+\b d\quad \hbox{\rm és} \quad \ora{D'C'}=3\b d-\b c.$

Az eredeti tetraéder térfogata $V=|\b b \b c\b d|/6$ , ahol $\b b \b c\b d=(\b b\times\b c)\b d$ a $\b b,\b c,\b d$ vektorok vegyes szorzata. A vegyes szorzat jól ismert azonosságainak ismeretében, valamint felhasználva, hogy ha három vektor között van két párhuzamos, akkor azok vegyes szorzata 0, az új tetraéder térfogatára

$V'=\frac{1}{6} \ora{D'A'}\ora{D'B'}\ora{D'C'}= \frac{1}{6}| (2\b b+\b d)(2\b c-\b b+\b d)(3\b d-\b c)|= \frac{1}{6}|15 \b b \b c\b d|=15V$

adódik.

Statisztika:

111 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csima Géza, Dinh Van Anh, Éles András, Faragó Ákos, Farkas Ádám László, Fonyó Dávid, Kardos Kinga Gabriela, Kornis Kristóf, Kriván Bálint, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Roósz Gergő, Sárkány Lőrinc, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Ta Phuong Linh, Wolosz János.

3 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Dudás Zsolt, Fridrik József Richárd, Gresits Iván, Kurgyis Eszter, Lippai Ádám, Majoros Csilla, Nagy-Baló András, Páldy Sándor, Papp 648 Pál András, Prőhle Zsófia, Reiter Viktor, Szűcs Gergely.

2 pontot kapott: 8 versenyző.

1 pontot kapott: 62 versenyző.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2006. szeptemberi matematika feladatai

111 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csima Géza, Dinh Van Anh, Éles András, Faragó Ákos, Farkas Ádám László, Fonyó Dávid, Kardos Kinga Gabriela, Kornis Kristóf, Kriván Bálint, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Roósz Gergő, Sárkány Lőrinc, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Ta Phuong Linh, Wolosz János.
3 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Dudás Zsolt, Fridrik József Richárd, Gresits Iván, Kurgyis Eszter, Lippai Ádám, Majoros Csilla, Nagy-Baló András, Páldy Sándor, Papp 648 Pál András, Prőhle Zsófia, Reiter Viktor, Szűcs Gergely.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	62 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?