Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4000. feladat (2007. április)

B. 4000. Határozzuk meg x2+y2 legkisebb lehetséges értékét, ha x és y valós számok, x\ne0 és

xy(x2-y2)=x2+y2.

Brit versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Ha x\ne0, akkor a jobboldal pozitív, tehát y sem lehet 0. T=x2+y2 legkisebb lehetséges értékének meghatározásához feltehetjük, hogy x,y>0. Ha ugyanis a két szám közül egyik pozitív, a másik pedig negatív, akkor x helyébe -y-t, y helyébe pedig x-et írva olyan számokat kapunk, amelyekre továbbra is teljesül az egyenlőség, előjelük megegyezik, T értéke pedig vátozatlan. Ha pedig mindkét szám negatív, akkor mindkettőt helyettesíthetjük az ellentettjével.

Legyen tehát x,y>0, ekkor x>y, vagyis x=y+z alkalmas z pozitív egész számmal. Ekkor az egyenlőség

(y+z)yz(2y+z)=(y+z)2+y2,

vagyis

yz(2y2+3yz+z2)=(2y2+2yz+z2)

alakba írható, ami a V=yz helyettesítéssel V(T+V)=T alakra hozható, vagyis

T=\frac{V^2}{1-V}.

A 2y^2+z^2\ge 2\sqrt{2}yz egyenlőtlenség miatt (ahol egyenlőség z=\sqrt{2}y esetén áll fenn) tudjuk, hogy T\ge (2\sqrt{2}+2)V. Mivel T,V>0, vagyis 0<V<1, innen kapjuk, hogy

(2\sqrt{2}+2)V(1-V)\ge V^2,

ahonnan

V\ge \frac{2\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+3}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}=2(\sqrt{2}-1),

vagyis T\ge (2\sqrt{2}+2)V\ge 4. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

T=\frac{V^2}{1-V}=(2\sqrt{2}+2)V,

vagyis ha yz=V=2(\sqrt{2}-1) és z=\sqrt{2}y, azaz y=\sqrt{2-\sqrt{2}}, x=\sqrt{2+\sqrt{2}} esetén.

Az adott feltételek mellett tehát x2+y2 legkisebb lehetséges értéke 4, és ezt összesen négy különböző x,y valós számpárra veszi fel, melyek felsorolását az olvasóra bízzuk.


Statisztika:

52 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Fonyó Dávid, Gyurcsik Judit, Honner Balázs, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Peregi Tamás, Réti Dávid, Sárkány Lőrinc, Szikszay László, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Wolosz János.
4 pontot kapott:Bencs 111 Ferenc, Bozi Veronika, Éles András, Fridrik József Richárd, Gévay Gábor, Godó Zita, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Keresztfalvi Tibor, Márkus Bence Gábor, Mihálykó Ágnes, Páldy Sándor, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tóth 666 László Márton, Véges Márton.
3 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai