Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4160. feladat (2009. február)

B. 4160. Van-e olyan korlátos ponthalmaz a síkon, amelynek végtelen sok szimmetriatengelye van, de nem középpontosan szimmetrikus?

Javasolta: Pósa Lajos

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. március 16-án LEJÁRT.


Megoldás: Létezik ilyen ponthalmaz. Tekintsük ugyanis a derékszögű koordinátarendszerben a Px=(cos x;sin x) pontokat, ezek éppen az O origó körüli egység sugarú körvonal pontjai. Px=Py pontosan akkor teljesül, ha az x-y szám 2\pi-nek egész számú többszöröse. Álljon K a körvonal azon Px pontjaiból, amelyekre x egész szám. Kihasználva a \pi szám irracionális voltát láthatjuk, hogy ezek a pontok páronként különbözők, továbbá Px\inK esetén P_{x+\pi}\not\in K. Ezért ha x,y különböző egész számok, akkor a tx=OPx és ty=OPy egyenesek is különbözők. Minden x egész számra a tx egyenes szimmetriatengelye a korlátos K halmaznak: a Py pont tükörképe éppen P2x-y. A K halmaznak tehát végtelen sok szimmetriatengelye van. Tegyük fel, hogy K középpontosan szimmetrikus az S pontra. Ekkor K minden pontja egyben annak a körnek is pontja, melyet az egységkörből úgy kapunk meg, hogy azt S-re tükrözzük. Mivel két különböző körnek legfeljebb két közös pontja lehet, K-nak pedig végtelen sok különböző pontja van, a két kör egybe kell, hogy essen, vagyis S=O. Azt viszont már láttuk, hogy K nem lehet középpontosan szimmetrikus O-ra, hiszen P_\pi\not\in K. Ezért a K halmaz minden feltételnek eleget tesz.


Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Czeller Ildikó, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 716 Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss 991 Mátyás, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Márki Róbert, Matyuska Péter, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szabó 124 Zsolt, Tubak Dániel, Varga 171 László, Vörös Tamás, Weisz Ágoston.
4 pontot kapott:Dudás 002 Zsolt, Fónagy 092 Fanni, Kunos Vid, Major Péter, Márkus Bence, Nagy Róbert, Palincza Richárd, Prok Tamás, Rácz Zoltán, Szabó 928 Attila, Zelena Réka.
3 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2009. februári matematika feladatai