Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4161. feladat (2009. február)

B. 4161. Tegyük föl, hogy a természetes számok halmazának véges sok pozitív elemét elhagyva egy olyan S halmazt kaptunk, amely zárt az összeadásra. Legyen az S egyik eleme k. Hány olyan eleme van S-nek, amiből k-t kivonva S-hez nem tartozó számot kapunk?

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. március 16-án LEJÁRT.


Megoldás: Tekintsük x=0,1,2,\ldots,k-1 esetén az S_x=S\cap\{x,x+k,x+2k,\ldots\} halmazt, ezek egyike sem lehet üres. Rögzített x esetén legyen sx=x+ik az Sx halmaz legkisebb eleme, nyilván s_x-k\not\in S. Azonban k\inS miatt sx+k\inS, és általában, ha sx+jk\inS, akkor sx+(j+1)k\inS, vagyis S_x=\{s_x,s_x+k,s_x+2k,\ldots\}. Ezért sx\ney\inSx esetén y-k\inSx\subsetS, tehát minden egyes Sx halmaz S-nek pontosan egy olyan elemét tartalmazza, amelyből k-t kivonva S-hez nem tartozó számot kapunk. Mivel S a páronként diszjunkt Sx halmazok egyesítése, a szóban forgó elemek száma éppen k.


Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Balla Attila, Baranyai Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Korondi Zénó, Kunos Vid, Matyuska Péter, Mészáros András, Nguyen Milán, Szabó 928 Attila, Zsakó András.
2 pontot kapott:Lajos Mátyás.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2009. februári matematika feladatai