Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4176. feladat (2009. április)

B. 4176. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(sin x+sin 2x+sin 3x)²+(cos x+cos 2x+cos 3x)²=1.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Felhasználva a sin² $\alpha$ +cos² $\alpha$ =1 és a sin $\alpha$ sin $\beta$ +cos $\alpha$ cos $\beta$ =cos ( $\beta$ - $\alpha$ ) összefüggéseket, a négyzetreemelést elvégezve és a tagokat megfelelően csoportosítva az egyenletet

3+4cos x+2cos 2x=1, cos 2x+2cos x+1=0

alakra hozhatjuk. Mivel cos 2x=2cos²x-1, ez ekvivalens a cos²x+cos x=0 egyenlettel. Ez pontosan akkor teljesül, ha cos x=0, vagy ha cos x=-1. Az egyenlet megoldásai tehát az x= $\pi$ /2+k $\pi$ és az x= $\pi$ +2k $\pi$ számok, ahol k végigfut az összes egész számon.

Statisztika:

80 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 56 versenyző.

3 pontot kapott: 18 versenyző.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai

80 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	56 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.