Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4176. feladat (2009. április)

B. 4176. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(sin x+sin 2x+sin 3x)2+(cos x+cos 2x+cos 3x)2=1.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Felhasználva a sin2\alpha+cos2\alpha=1 és a sin \alphasin \beta+cos \alphacos \beta=cos (\beta-\alpha) összefüggéseket, a négyzetreemelést elvégezve és a tagokat megfelelően csoportosítva az egyenletet

3+4cos x+2cos 2x=1,  cos 2x+2cos x+1=0

alakra hozhatjuk. Mivel cos 2x=2cos2x-1, ez ekvivalens a cos2x+cos x=0 egyenlettel. Ez pontosan akkor teljesül, ha cos x=0, vagy ha cos x=-1. Az egyenlet megoldásai tehát az x=\pi/2+k\pi és az x=\pi+2k\pi számok, ahol k végigfut az összes egész számon.


Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:57 versenyző.
3 pontot kapott:18 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai