Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4486. feladat (2012. november)

B. 4486. Legyenek a és b pozitív egészek. Hány olyan n nemnegatív egész szám van, amelyre

\left[\frac{n}{ab}\right] + \left[\frac{n+b}{ab}\right] +
\left[\frac{n+2b}{ab}\right] + \ldots +
\left[\frac{n+(a-1)b}{ab}\right] =

= \left[\frac{n}{ab}\right] + \left[\frac{n+a}{ab}\right] +
\left[\frac{n+2a}{ab}\right] + \ldots + \left[\frac{n+(b-1)a}{ab}\right]?

([x] az x szám egészrészét, azaz azt a legnagyobb egész számot jelöli, amely nem nagyobb az x számnál.)

Javasolta: R. F. Stöckli (Buenos Aires)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.


Útmutatás: Írjuk föl zárt alakban mindkét oldalt.

Megoldás: Ha a=b, akkor a két oldal azonosan egyenlő, vagyis végtelen sok megoldás van. Tegyük fel tehát, hogy a<b (az a>b esetben az eredmény a és b felcserélésével adódik). Ekkor a jobb oldalon a tagok száma nagyobb, mint a bal oldalon. Továbbá i=1,2,\ldots,a esetén n+(a-i)b<n+(b-i)a, vagyis

\left[\frac{n+(a-i)b}{ab}\right]\le \left[\frac{n+(b-i)a}{ab}\right].

Ezért a bal oldalon álló kifejezés értéke minden n nemnegatív egész szám esetén legfeljebb akkora, mint a jobb oldalon álló kifejezésé. Egyenlőség pedig akkor és csak akkor teljesül, ha minden i=1,2,\ldots,a esetén

\left[\frac{n+(a-i)b}{ab}\right]= \left[\frac{n+(b-i)a}{ab}\right],

és minden i=a+1,\ldots,b esetén

\left[\frac{n+(b-i)a}{ab}\right]=0.

Speciálisan [n/ab]=0, vagyis n<ab. Vegyük észre, hogy minden 0\lei<a, 0\lej<b esetén

|(n+ib)-(n+ja)|=|ib-ja|<ab,

amiért is a szóban forgó egészrészek közül bármely kettő különbsége legfeljebb 1. Mindezek fényében az n szám pontosan akkor elégíti ki az egyenlőséget, ha valamely 0\let\lea egész szám mellett teljesül az, hogy mindkét összeg utolsó t tagja 1-gyel, az összes megelőző pedig 0-val egyenlő. Ez pedig, ugyancsak a fentiek miatt, ekvivalens azzal, hogy alkalmas 0\let\lea egész számmal

\left[\frac{n+(a-t)b}{ab}\right]=1\qquad\hbox{\rm \'es}\qquad
\left[\frac{n+(b-t-1)a}{ab}\right]=0,

vagyis tb\len<(t+1)a. Ez utóbbi halmaz pontosan akkor nem üres, ha t(b-a)<a, vagyis ha t\lem-1, ahol m az a/(b-a) szám felső egészrésze. A megoldások száma pedig

a+(2a-b)+(3a-2b)+\ldots+\bigl(ma-(m-1)b\bigr)=
\frac{m}{2}\bigl(a+b-m(b-a)\bigr).


Statisztika:

56 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Forrás Bence, Hansel Soma, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Qian Lívia, Sal Kristóf, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 pontot kapott:Homonnay Bálint, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Thamó Emese, Venczel Tünde.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai