Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4490. feladat (2012. november)

B. 4490. Az ABC nem egyenlő szárú háromszög AC oldalán felvettük a P és Q belső pontokat úgy, hogy


ABP \sphericalangle = QBC\sphericalangle< \frac 12\cdot ABC\sphericalangle.

Az A-ból és a C-ből induló belső szögfelezők a BP szakaszt a K, illetve L, a BQ szakaszt pedig az M, illetve N pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy az AC, KN és LM egyenesek egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.


Útmutatás: Menelaosz-tétel.

Megoldás: A szokásos jelölések mellett legyen ABP \sphericalangle = \vartheta. Mivel \alpha\ne\gamma és \alpha+\gamma+2\vartheta<\pi, a szögfelező-tétel és a szinusz-tétel szerint

\frac{QN}{NB}=\frac{QC}{BC}=\frac{\sin\vartheta}{\sin(\gamma+\vartheta)}\ne
\frac{\sin\vartheta}{\sin(\alpha+\vartheta)}=\frac{PA}{BA}=\frac{PK}{KB}.

Ezért a KN egyenes nem párhuzamos az AC egyenessel, így azt egy X pontban metszi. Hasonlóképpen

\frac{QM}{MB}=\frac{QA}{BA}=
\frac{\sin(\beta-\vartheta)}{\sin(\gamma+\vartheta)}\ne
\frac{\sin(\beta-\vartheta)}{\sin(\alpha+\vartheta)}
=\frac{PC}{BC}=\frac{PL}{LB},

így az LM egyenes az AC egyenest egy Y pontban metszi.

A Menelaosz-tételt a BPQ háromszögre alkalmazva

\frac{PX}{XQ}\cdot\frac{QN}{NB}\cdot\frac{BK}{KP}=-1=
\frac{PY}{YQ}\cdot\frac{QM}{MB}\cdot\frac{BL}{LP},

ahol a PX,XQ, és ugyanúgy a PY,YQ irányított szakaszok közül is, az egyik hossza negatív. Mivel a fentiek szerint (itt mindegyik irányított szakasz hossza pozitív)

\frac{QN}{NB}\cdot\frac{BK}{KP}=
\frac{\sin(\alpha+\vartheta)}{\sin(\gamma+\vartheta)}=
\frac{QM}{MB}\cdot\frac{BL}{LP}\ne 1,

kapjuk, hogy PX:XQ=PY:YQ\ne-1. Azon Z pontok mértani helye a síkon, melyekre a PZ:ZQ arány 1-től különböző állandó, egy olyan Apollóniusz-kör, mely elválasztja a P és Q pontokat. Ez a PQ egyenest két pontban metszi. Az irányításokat is figyelembe véve tehát X=Y, amint azt igazolni kellett.


Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bogár Blanka, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Machó Bónis, Maga Balázs, Medek Ákos, Nagy Róbert, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás.
5 pontot kapott:Bingler Arnold, Nagy-György Pál, Schultz Vera Magdolna, Williams Kada.
3 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai