Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4496. feladat (2012. december)

B. 4496. A szórakozott professzor metróval utazik a mindkét irányban végtelen hosszú metróvonalon. Szeretne eljutni az áporkai állomásról a tyukodira. Utazás közben minden megállónál (egymástól függetlenül) p>0 valószínűséggel néz fel a jegyzeteiből. Ha felnéz, és észreveszi, hogy elérte utazása célját, leszáll. Ha azt látja, hogy túlment, akkor is leszáll, és felszáll a másik irányba tartó szerelvényre. Ha pedig felnéz, és még nem érte el Tyukodot, akkor folytatja útját. Ha nem néz fel, bárhol is legyen, fennmarad a szerelvényen. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy idő után Tyukodon leszáll?

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.


Útmutatás: Mekkora a valószínűsége annak, hogy elsőre túlmegy?

Megoldás: Ha a professzor egy Tyukod felé tartó szerelvényen utazik, akkor az előzményektől függetlenül p valószínűséggel leszáll Tyukodon, 1-p valószínűséggel pedig valamely későbbi állomáson. Annak ugyanis 0 a valószínűsége, hogy az idők végezetéig fennmarad a szerelvényen, hiszen (1-p)N+1 annak valószínűsége, hogy sem Tyukodon, sem az azt követő N állomás valamelyikén nem száll le a metróról, ez pedig 0-hoz tart, midőn N minden határon túl nő. (Itt hallgatólagosan feltételeztük, hogy az állomások száma mindkét irányban végtelen.)

Legyen qk annak a valószínűsége, hogy a professzor még a k-adik körben sem száll le Tyukodon. Láttuk, hogy q1=1-p. Most már k szerinti indukcióval könnyen beláthatjuk, hogy qk=(1-p)k. Tegyük fel, hogy ezt k-ra már beláttuk, vagyis qk=(1-p)k annak a valószínűsége, hogy egy k-adik utazásra is sor került, de a professzor nem szállt le Tyukodon. Láttuk, hogy 1 valószínűséggel később leszáll, és sor kerül egy (k+1)-edik menetre, melynek során p valószínűséggel leszáll Tyukodon, 1-p valószínűséggel pedig nem. Ezért valóban qk+1=(1-p)qk=(1-p)k+1. Mivel qk a 0-hoz tart, a professzor 1 valószínűséggel előbb vagy utóbb megérkezik Tyukodra.


Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Alyosha Latyntsev, Badacsonyi István András, Balogh Menyhért, Baran Zsuzsanna, Barna István, Borsi Miklós, Csernák Tamás, Czipó Bence, Czövek Márton, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Gyarmati Richárd, Havasi 0 Márton, Janzer Barnabás, Juhász Kristóf, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kelemen Bendegúz, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács Balázs Marcell, Kristóf Kitti, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Lelkes János, Lezsák Gábor, Maga Balázs, Makk László, Medek Ákos, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Németh Gergely, Öreg Botond, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simon 047 Péter, Somogyvári Kristóf, Szabó 928 Attila, Szaksz Bence, Talyigás Gergely, Tardos Jakab, Tóth László Gábor, Vályi András, Varga 149 Imre Károly, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:14 versenyző.
2 pontot kapott:17 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:18 versenyző.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai