Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4519. feladat (2013. február)

B. 4519. Tegyük fel, hogy az ABCD tetraéder magasságvonalai az M ponton mennek át. A tetraéder köré írt gömb sugarát jelölje R. Mutassuk meg, hogy

MA2+MB2+MC2+MD2=4R2.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.


Megoldási ötlet: Használjunk vektorokat.

 

Megoldás. Közismert, hogy a tetraéder magasságai akkor mennek át egy ponton, ha a szemközti élek merőlegesek egymásra. Ennek egy lehetséges bizonyítása a következő. Az AM magasság merőleges a BCD síkra, így a sík minden egyenesére, közte a CD egyenesre is. Hasonlóan, a BM magasság is merőleges a CD egyenesre. Most már tudjuk, hogy a CD egyenes merőleges az ABM sík két különböző irányú egyenesére: AM-re és BM-re, tehát CD merőleges az ABM síkra. Ebből pedig következik, hogy CD az ABM sík minden egyenesére merőleges, így AB-re is. Az AB és CD élek tehát merőlegesek egymásra. Hasonlóan kaphatjuk, hogy AC merőleges BD-re, és AD merőleges BC-re.

Legyen a tetraéder köré írt gömb középpontja O, és a szokásos jelölésekkel \overrightarrow{OA}=\mathbf{a}, \overrightarrow{OB}=\mathbf{b}, \overrightarrow{OC}=\mathbf{c}, \overrightarrow{OD}=\mathbf{d} és \overrightarrow{OM}=\mathbf{m}. Ekkor

 \mathbf{a}^2=\mathbf{b}^2=\mathbf{c}^2=\mathbf{d}^2=R^2,

és a szemközti élek merőlegessége miatt


(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{d})=
(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{d})=
(\mathbf{a}-\mathbf{d})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})=0.

Megmutatjuk, hogy


\mathbf{m} =
\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}2. (1)

(Ez szintén jól ismert.)

Legyen


\mathbf{n} = \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}2;

és N az a pont, ahova az \mathbf{n} vektor mutat. Azt kell megmutatnunk, hogy M=N.

Az AN egyenes merőleges a BC egyenesre, mert


\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{BC} =
(\mathbf{n}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{b}) =
\tfrac12(\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}-\mathbf{a})
\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{b}) =


= \tfrac12\Big((\mathbf{b}+\mathbf{c})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{b}) +
(\mathbf{d}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{b})\Big) =
\tfrac12\Big((\mathbf{c}^2-\mathbf{b}^2)+0\Big) = 0.

Hasonlóan, AN merőleges a BD és a CD egyenesre is, tehát AN merőleges a BCD síkra, vagyis N az A-ból induló magasságon van. Ugyanígy láthatjuk, hogy N rajta van a tetraéder többi magasságán is. Tehát N=M.

A feladat állítását az (1) képletből bizonyíthatjuk:


  MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2} =
  (\mathbf{m}-\mathbf{a})^2+(\mathbf{m}-\mathbf{b})^2+
  (\mathbf{m}-\mathbf{c})^2+(\mathbf{m}-\mathbf{d})^2 =


  \tfrac14\Big( (-\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d})^2 +
  (\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d})^2 +
  (\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}+\mathbf{d})^2 +
  (\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}-\mathbf{d})^2 \Big) =


  = \mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2+\mathbf{c}^2+\mathbf{d}^2 =4R^2.


Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Lelkes János, Machó Bónis, Maga Balázs, Makk László, Márton Boldizsár, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Vályi András, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
4 pontot kapott:Szász Dániel Soma.
3 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai